Приложения дифференциальных уравнений

[polk23]

Доброго времени суток! к Вам с вопросом качественного исследования диф уравнения, которое взято из "Дифференциальные уравнения в приложениях" стр. 121, Амелькин, 1987 г. не знаю как начать его исследовать интегрировать - в прошлом году прошли курс ОДУ (лекции преподаватель читал по Краснову, практики проводил по Филиппову), но подобного уравнения не решал, и дурак я. не знаком с численным интегрированием, сказано что можно исследовать только так. Скажите, пожалуйста, с чего начинать (посоветуйте, пожалуйста, хотя бы учебник, где будет что полезное для разрешения этого бедственного для меня, идиота, положения). Тщетно копался в учебниках по газовой динамике, надеясь наткнуться на что-то подобное. не знаю как быть, я в отчаянии. (

$\frac{dy}{dx} = \frac{4y(1+\frac{\gamma-1}{2}y)(\gamma qy-F'(x))}{(1-y)F(x)}$ (1.3)

где F(x) - диаметр сопла, который первоначально будем обозначать через D. F'(x) - производная по х.

нужно найти особые точки, построить портрет на фазовой плоскости. данное уравнение было выведено из уравнений

$\frac{d\rho}{\rho}+\frac{dS}{S}+\frac{dv}{v}=0$ (1.4)
- неразрывности адиабатического потока газа

$c_{p}dT+d(\frac{v^2}{2})=0$ (1.6)
- энергии потока, где
$c_{p}$ телоемкость
и

$\frac{dp}{p}+\gamma*M^2(4q\frac{dx}{D}+\frac{dv^2}{v^2})=0$ (1.11)
где $M^2$ - квадрат числа Маха, который обозначили через у. воспользовавшись соотношениями (1.4), (1.6) и (1.11), после алгебраических комбинаций и преобразований пришли к дифференциальному уравнению (1.3), но как? (автор ссылается на КеstiпJ., Zaremba S. К. One-dimensional high-speed flows. Flow patterns derived for thp flow of gases through nozzles, including compressibility and viscosity effects// Aircraft Engin.—1953.—V. 25,№ 292.—P. 172—175, 179. - не смог найти в интрнете). пожалуйста, помогите. было бы замечательно, если бы Вы помогли разобраться с этой задачей, от решения её многое зависит. пожалуйста, посоветуйте хотя бы какую-нибудь книгу, кроме Амелькина, где был бы представлен разбор поставленного вопроса - искал, не смог найти другой книги, где было бы хоть каое-нибудь качественное исследование (вообще постановка рассматриваемого вопроса). надеюсь на Вашу помощь. это курсовая, пожалуйста, подскажите что-нибудь. :(

[Yu_K]

Рекомендую Баутин Леонтович "Методы и приемы качественного..." или так
http://www.google.ru/search?hl=ru&sourc ... 2&gs_rfai=
и есть хорошие апплеты на Jave для онлайн построения фазового портрета - например ссылка здесь topic17166.html

А начать надо с анализа типов особых точек и вида нулевых кривых (это кривые на которых числитель и знаменатель обращаются в ноль). Кривые разобьют плоскость на области внутри которых все наклоны интегральных кривых будут одинаковы.

[Yu_K]

Одинаковые наклоны - "в смысле" по знаку производной - одинаковые - положительные или отрицательные.

[polk23]

спасибо большое, что откликнулись!!! огромное спасибо!

значит, как я понял, сначала необходимо рассмотреть особые точки. заменить F'(x) на dF/dx и прийти к эквивалентной системе диф уравнений с dF/dx и dy/dx. составить характеристическое уравнение.. численное интегрирование - к нему обязательно придётся прийти, или его можно будет избежать (ЧМ начали изучать в этом семестре, (сейчас проходим методы решения СЛАУ). значит, нужно мне узнать, что такое интегрирование численными методами)?

[Yu_K]

Смотря какие цели преследуете - если необходимо качественно описать картину - можно и без численного интегрирования обойтись.

Функция $F(x)$ ведь у Вас задана - задача на плоскости $(x,y)$ - числитель и знаменатель вашего уравнения (1.3) зависит только от $x,y$. Стандартная автономная система получится. А что касается книжек - любой учебник по газовой динамике - там это должно быть рассмотрено.

[polk23]

есть такое уравнение $\frac{dS}{S}=4 \frac{dx}{F(x)}$ . скажите, пожалуйста, нужно ли его употребить?

-- Пн ноя 22, 2010 22:47:54 --

где S - площадь сечения канала

[polk23]

в "Амелькине" утверждается, что координаты особых точек задаются равенствами $y^*=1, F'(x^*)= \gamma q$ (сначала я думал, почему же там звёздочки, но как начал пользоваться посоветованной книгой (спаибо за неё большое), понял, что это неспроста - думаю, книга разъяснит мне суть этого), и говорится там " которые означают, что указанные точки располагаются в
расходящейся части сопла. Седловая точка появляется в
том случае, когда якобиан $J^*<0$, т. е. когда $F.
Поскольку $q$ — достаточно малая константа, то седловая
точка появляется возле горловины сопла. Узловая же точ
ка возникает лишь при выполнении условия $F. Таким образом, узловая точка образуется в той части сопла,которая следует за точкой перегиба в его профиле или, на практике, на некотором расстоянии от горловины сопла при условии, что профиль содержит точку перегиба. Из характеристического уравнения, которому я попытаюсь дойти (пока мне еще непонятно как это сделать) $F(x^*) \lambda^2+2q\gamma (\gamma+1)\lambda-2(\gamma +1)F видно, что два исключительных направления имеют угловые коэффициенты, противоположные по знаку в случае седла и совпадающие (отрицательные) по знаку в случае узла. Последнее означает, что только седловая точка допускает переход как от сверхзвуковых к дозвуковым, так и от дозвуковых к сверхзвуковым скоростям. поскольку уравнение (1.3) не может быть проинтегрировано в замкнутой форме, то для дальнейших исследований необходимо применять методы численного интегрирования " - вот как там. я постараюсь уяснить всю суть этого, суть $x^*$ и $J^*$хоть дастся, думаю, мне это с трудом. Спасибо, Вам Y_k, я благодарен. Было бы хорошо, если бы показали как прийти к характеристическому уравнению, но и так уже многое сделали (но если не надоел еще, и время есть, пожалуйста, разъясните). Сейчас листаю Эльсгольца и предложенную книгу.
З. Ы. Такой вот я бестолковый. надо меняться, по любому - суровая правда

[Yu_K]

Абстрактная качественная теория ДУ базируется на следующем - для автономной системы типа
$\frac{dy}{dt}=Q(x,y)$
$\frac{dx}{dt}=P(x,y)$ ищутся особые точки $x^*,y^*$ из системы
$Q(x,y)=0$
$P(x,y)=0$
-далее в окрестности этих точек система линеаризуется и поведение интегральных кривых в окрестности определятся типом особой точки и линейными членами разложения правых частей исходной системы. Далее можно посмотреть поведение кривых $Q(x,y)=0$ $P(x,y)=0$ - на них интегральные кривые имеют горизонтальные и вертикальные наклоны - а в областях между ними наклоны либо положительны, либо отрицательны. Поработайте для начала например с системой вида (стандартная задачка на экзамене для понимания теории)
$\frac{dy}{dt}=Q(x,y)=x^2+y^2-1$
$\frac{dx}{dt}=P(x,y)=x-y$
- две собые точки, посмотри тип и нарисуйте качественно картину интегральных кривых. Собственные числа матрицы дадут понять какого типа будет особая точка. И можете потом для проверки использовать тот апплет, ссылку на который я дал выше - картинку покажите нам. Пуанкаре не пользовался численными методами - тем не менее сделал большое кол-во качественных выводов.

И попробуйте посмотреть для своей задачи, например функцию вида $S(x)=(2-e^{-x^2})$ - какая при этом будет функция $F(x)$?

[polk23]

Огромное спасибо за хороший пример, замечательно прояснивший мне ситуацию. Нашел хорошее число примеров подобных данному в учебнике Ляшко и Боярчука. для рассматриваемого примера точками равновесия будут $(\frac{-1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}})$ и $(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}})$. составил характеристическое уравнение для них, нашёл $\lambda$, которая в одном случае есть вещественные, а в другом - комплексные числа. (я обещаю обязательно выложить всё решение на данном форуме, как только стабильно заработает интернет (сейчас пишу с учебного компа, и время с курсовой так поджимает) ). Скажите, пожалуйста, а почему, к примеру, нельзя (или можно?) вместо $F(x)$ взять просто $x$ ? для рассматриваемого $S(x)=(2-e^{-x^2})$ следует, что $F(x)= \frac{(4-2e^{-x^2})}{xe^{-x^2}}$. нашёл производную этого выражения, подставил, но к сожалению, получилось довольно сложное выражение. Исследуем поведение фазовых кривых, где производная $\frac{dy}{dx}$ больше, меньше, равна нулю. Что интересно - это то, что значения $q, \gamma$ - константы. Следовательно, прорешиваем в общем виде (если взять в качестве $F(x)=x$, то в числителе получается замечательное квадратное уравнение относительно $ y $ , Дискриминант которого меняется в зависимости от значений $q, \gamma$ {и будем исследовать, когда он больше, равен, меньше нуля}). Так вот сейчас задаюсь вопросом, можно ли взять $F(x)=x$? интересно, почему именно $S(x)=(2-e^{-x^2})$.
З. Ы. Спасибо за рассмотрение вопроса!

[polk23]

Решая предложенную систему, по глупости вместо "x-y" рассмотрел "х+y", что думаю, нужно отметить.

[Yu_K]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0% ... 0%BB%D1%8F - что бы было сужение и расширение канала - некий вариант подобия картинки в википедии. Можно брать любые другие, которые нравятся - желательно только чтоб за этим стояла какая нибудь здравая мысль. Конечно выше я напутал - саму функцию F(x) (это же диаметр сопла у Вас), в предложенном виде лучше брать - я то подумал, что S(x) - это площадь сечения. Извиняюсь...

[polk23]

Извиняться тут не стоит , потому как правильно заметили, что буковка S - это изменяющаяся площадь поперечного сечения, которая входит в упоминавшееся ранее ДУ, следующее, как пишется в "Амелькине", из определения гидравлического диаметра, т. е. dS/S =4dx/D , где D - гидравлический диаметр, изменение вдоль оси сопла которого определяется функцией F такой, что D = F(x), где x - координата вдоль оси сопла. Уточним, Значит, F(x) брать равным.. а S в данном случае..
З. Ы. Простите, что пишу уравнения и буквы, не употребляя math: с телефона, единственного пока возможного способа выхода в интернет. Жду с нетерпением Вашего ответа.

[Yu_K]

polk23 в сообщении #379258 писал(а):

есть такое уравнение $\frac{dS}{S}=4 \frac{dx}{F(x)}$
где S - площадь сечения канала

- раз так, то можно установить связь между площадью сечения и функцией $F(x)$. Априорно ставилась задача построить фазовый портрет для (1.3). Без заданной функции $F(x)$ Вам не удастся это сделать. Поскольку естественным образом интересуют профили каналов, обеспечивающие дозвук в сужающемся канале и сверхзвук в расширяющемся канале - то желательно смотреть именно такие конфигурации каналов. Можно более простые выбирать - например типа $S(x)=x^2/10+2$. Какая-то функция должна быть задана. Может быть можно брать и негладкие профили
$S(x)=-kx+p, x<0$
$S(x)=kx+p, x>0$.
Без заданной фукции площади не получится фазового портрета. Особая точка должна быть седло для гладкого течения - про это Вы написали. Хотя может быть можно вводить и ударноволновые переходы внутри канала - не знаю насколько это возможно?
В Вашем случае, при правильной конструкции профиля канала, в зависимости от начальных данных будет существовать несколько типов интегральных кривых, разделенных сепаратрисой седла - те которые остаются в дозвуке и после расширения канала тормозятся, и те, которые будут соответствовать "запиранию потока" (разворот интегральной кривой) - и еще сама сепаратриса седла, которая плавно перейдет звуковую точку и после нее поток будет ускоряться.
Так что пробуйте - еще раз рекомендую апплет- http://www.math.psu.edu/melvin/phase/newphase.html - картинки он строит автоматически, мышкой задаете начальную точку и все.

[polk23]

Что же без Вашей помощи я бы делал?!! Бесконечно благодарен за столь качественную помощь!!! Спасибо огромное! И говоря о себе во множественном числе теперь скажем тут: "We must do it!" (я постараюсь избежать неправильных суждений своего узкого ума)

[Yu_K]

(Оффтоп)

Show must go!
http://www.youtube.com/watch?v=iO1qvnFR3Wo&NR=1