Приложения дифференциальных уравнений

[polk23]

Готов представить что-то наподобие решения для варианта $S(x)=\frac{x^2}{10}+2$, но возникает сложность с тем, что получается 7 шт. точек равновесия $(0,1), (-2\sqrt{\frac{10}{\gamma q-2}}), (2\sqrt{\frac{10}{\gamma q-2}}), (-2 \sqrt{5}, 0), (2 \sqrt{5}, 0), (-4 \sqrt{5} \sqrt{\frac {1-\gamma}{1-\gamma (1+q)}}, \frac {2}{1-\gamma}), (4 \sqrt{5} \sqrt{\frac {1-\gamma}{1-\gamma (1+q)}}, \frac {2}{1-\gamma}) $. Исходя из этого составил характеристическое уравнение, то естьт сначала составил определитель, где в качестве элементов взял, соответственно производные по $х$ и $у$. Составил отдельные характеристические уравнения для каждой точки равновесия. Но тут возникла некоторая проблема с \lambda, которые для первой точки равны нулю (но это не беда, думаю). Проблема со значениями \gamma и $q$. (может, лучше их задавать первоначально?) .. А можно взять $S(x)=\frac {x^4}{40}+2$? (могу написать ход всего моего решения для $S(x)=\frac {x^2}{10}+2$, но чуть позже [как только узнаю, можно ли брать $S(x)=\frac {x^4}{40}+2$]).

[Yu_K]

Вообще лучше проконсультироваться с тем, кто Вам ставил задачу насчет выбора вида $S(x)$, а то можно много нафантазировать. И что то странно, что нет точки, в которой число Маха равно 1 - той про которую писали выше. Получается есть еще одно требование к $S(x)$, числитель должен зануляться при некотором $x$ и при $y=1$.

[polk23]

Проконсультировавшись с преподавателем, условились взять с ним в качестве $S(x)$ выражение $S(x)= \frac{x^4}{40}+2$, потому как отнёсся он к этому варианту с некоторым одобрением, а я настаивал на этом варианте, показывая, что $F(x)=x $, получаемое из соотношения $\frac{dS}{S}= \frac{4dx}{F(x)}$ в данном случае является наиболее удобным вариантом (в числителе выражения (1.3) исключается всякое наличие переменной $ x $, а в знаменателе получается "хорошее выражение"). Приступим к решению! Оформлять буду здесь ход решения (частями), конечно же, Yu_K, надеясь на Ваше мудрое руководство.

[Ales]

polk23 в сообщении #378872 писал(а):

(

$\frac{dy}{dx} = \frac{4y(1+\frac{\gamma-1}{2}y)(\gamma qy-F'(x))}{(1-y)F(x)}$ (1.3)

где F(x) - диаметр сопла, который первоначально будем обозначать через D. F'(x) - производная по х.

Особые точки это те точки в которых и числитель и знаменатель обращаются в нуль.
1. надо их найти из этих условий
2. посмотреть линейную часть уравнения в особых точках
3. нарисовать фазовый портрет на плоскости с помощью компьютера

Для этого надо знать формулу для F(x) - диаметр сопла.

[polk23]

Ales, но $F(x)=D$ мы же сумели найти благодаря выражению для $S(x)$ b из такого Ду: $\frac{dS}{S}=\frac{4dx}{D}$ . $D=F(x)=x $ - а вообще (как, отмечал выше, глуп я неимоверно) допустимое ли это, на Ваш взгляд выражение для диаметра сопла? сделав нужные преобразования, придём к такому ДУ: $\frac{(4y+2(\gamma -1)y^2)(\gamma qy-1)}{(1-y)x}=\frac{dy}{dx}$..to be countined (как-то так)

-- Чт ноя 25, 2010 15:58:03 --

составим систему из двух уравнений, то есть приравняв числитель и знаменатель нулю. найдем положения равновесия. получаем 4 шт. положений равновесия $A(0,1), B(0,0), C(0,\frac{2}{1-\gamma }), D(0, \frac{1}{\gamma q})$ .. (распишем процесс подробнее)..to be countined (как-то так)

-- Чт ноя 25, 2010 15:59:20 --

хотя, думаю, подробнее расписывать лучше не стоит.

-- Чт ноя 25, 2010 16:01:18 --

итак, буду ли я линеаризовывать? Давайте не буду пока.

-- Чт ноя 25, 2010 16:05:52 --

Составим характеристическое уравнение (хар. ур.), приравняв определитель нулю (здесь мы будем вместо привычных $y^* , x^*$) употреблять просто $y, x$

-- Чт ноя 25, 2010 16:35:10 --

пытался набрать на техе, но бестолку, придется речить словами

-- Чт ноя 25, 2010 16:40:58 --

получаем : $\lambda (\lambda + x) - (1-y)[(4+4( \gamma - 1)y)(\gamma qy-1)+(4y+2y^2 (\gamma -1)) \gamma q] = 0$

-- Чт ноя 25, 2010 16:42:38 --

теперь подставляем вместо $x, y$ соответствующие координаты точек равновесия

-- Чт ноя 25, 2010 16:45:49 --

Для А имеем:

[Yu_K]

polk23 в сообщении #380303 писал(а):

Проконсультировавшись с преподавателем, условились взять с ним в качестве $S(x)$ выражение $S(x)= \frac{x^4}{40}+2$, потому как отнёсся он к этому варианту с некоторым одобрением, а я настаивал на этом варианте, показывая, что $F(x)=x $, получаемое из соотношения $\frac{dS}{S}= \frac{4dx}{F(x)}$ в данном случае является наиболее удобным вариантом (в числителе выражения (1.3) исключается всякое наличие переменной $ x $, а в знаменателе получается "хорошее выражение").

Для начала покажите, что при таких $F(x)=x$ и $S(x)= \frac{x^4}{40}+2$, уравнение $\frac{dS}{S}= \frac{4dx}{F(x)}$ действительно выполняется.

[Ales]

polk23 в сообщении #380318 писал(а):

Ales, но $F(x)=D$ мы же сумели найти благодаря выражению для $S(x)$ b из такого Ду: $\frac{dS}{S}=\frac{4dx}{D}$

Yu_K в сообщении #380360 писал(а):

Для начала покажите, что при таких $F(x)=x$ и $S(x)= \frac{x^4}{40}+2$, уравнение $\frac{dS}{S}= \frac{4dx}{F(x)}$ действительно выполняется.

А оно не выполняется. Похоже автор не очень дружит с анализом.
$\frac{dS}{S}=\frac{4dx}{x}$ равносильно тому что $S=const \cdot x^4$, нельзя добавлять 2.

-- Чт ноя 25, 2010 18:45:39 --

Если $ F(x)=x$, переменные разделяются и уравнение превращается в стандартный интеграл.
Легко находится зависимость $y$ от $x$.
В этом случае можно не возиться с особыми точками.

[polk23]

Да-да, как видите, знания у меня поверхностные.. Да, (x^2)/10 +2 - лучшее простое выражение в данном случае - мое уважение автору. Решение размещу на форуме завтра, как только приеду домой, где интернет быть должен (сейчас с мобильного)

[polk23]

как всё начиналось..(в последнем изображении следует читать "идеального газа". неужели, действительно, $q=0 , \gamma =0 $, то есть коэффициенты трения и удельной теплоёмкости равны нулю [надо читать газовую динамику мне. но всё-таки, если в "Амелькине" эти константы нулю не приравниваются, то, значит, необходимо решать не обнуляя их. а тема такая "Элементы качественного исследования адиабатического потока идеального газа в канале переменного диаметра"].)

(Оффтоп)

такое вот затруднение..

[Yu_K]

Для идеального газа возьмите например $\gamma=7/5$ и насчет того что может быть $q=0$ - это как то смущает - надо посмотреть что такое $q$ в учебнике. И потом будут скорее всего две линии $y=0$ и $y=y_s>1$ (прямые линии, где числитель равен нулю), которые вырежут физическую рабочую область - и за которыми "физических" значений параметров нет и нет переходов интегральных кривых через эти линии. Cмотрите только движения вправо - это отбросит область $y<0$. Как то так должно быть.

[polk23]

(Оффтоп)

Yu_k - право, замечательный Вы человек!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ход решения ДУ, буду надеяться, правилен. Решения попытаюсь продолжить с постоянными $\gamma$ и $q$, не приравнивая их некоторому значению.

(Оффтоп)

Чувствую, будет весело

[polk23]

да, "нет точки, в которой число Маха равно 1". быть может, взять $S(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$? сейчас посчитаю..

[Yu_K]

А куда же Вы ее деваете - знаменатель однозначно обращается в 0 при $y=1$, а в числителе вроде бы есть управляющий параметр $q$ - всегда подберете нужное значение.

[polk23]

работал с $S(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$ получил такие положения равновесия
$(x= -1.414213562, y = -5.), (y = -5., x = 1.414213562), (y = -95.23809524, x = 0.), (y = 0., x = 0.), (y = 1., x = -2.919210885), (y = 1., x = 2.919210885), (y = 0., x = -1.414213562), (y = 0., x = 1.414213562), (x = 0., y = -5.)$

[polk23]

Получается, коэффициент $q$ подобран настолько неудачно, что рассматриваемое сопло считаться соплом Лаваля уже не может. сечение выхода из сопла имеет координату$x=2.919$ ?