Значение Пи - математический или эмпирический факт?

[бобыль]

Otez-osnovatel писал(а):

А вообще, все иные приемы поиска числа пи кроме отношения длины окружности к диаметру являются досужим упражнением.

Эталон массы имеет вид цилиндра - с круговым основанием. Отсюда пи. И никаких досужих упражнений.

[AndAll]

бобыль писал(а):

Продолжу о числе пи, тема-то о нем.

Рассмотрим цилиндр массой m, диаметром d и высотой тоже d, изготовленный из сплава плотностью s = ap + bq.

Вы уверены, что эта формула для сплава верна? Для "слива" воды со спиртом она, кажется, не работает.
Otez-osnovatel здесь прав.

[бобыль]

AndAll писал(а):

Вы уверены, что эта формула для сплава верна? Для "слива" воды со спиртом она, кажется, не работает.

Нет, не уверен. Но отношу возможную ошибку к погрешностям вычислений.

[AlexDem]

Цитата:

Вы уверены, что эта формула для сплава верна? Для "слива" воды со спиртом она, кажется, не работает.

$V = S * h$ - объем цилиндра высоты h, где
$S = \pi R^2 = \pi d^2 / 4$

Откуда объем цилиндра при h = d:
$V = (\pi d^2 / 4) * d = \pi d^3 / 4$

Отсюда Пи:
$\pi = 4 V / d^3$

В то же время из элементарной физики:
$m = s * V$, где s - плотность

Заменяя объем в предыдущей формуле на $V = m / s$:
$\pi = 4 V / d^3 = 4 m / (d^3 s)$,

что и записал бобыль. Иная плотность даст иную массу.

[Someone]

бобыль писал(а):

m = 1 кг точно,
d = 39 мм,
p = 21 450 кг/кубометр (Pt),
q = 22 420 кг/кубометр (Ir),
a = 90 %, b = 10 %.

И получим, что пи = 3.1295... < 3.14.

А с какой точностью Вы хотите получить число $\pi$, задавая диаметр с двумя значащими цифрами?

[AndAll]

AlexDem писал(а):

Цитата:

Вы уверены, что эта формула для сплава верна? Для "слива" воды со спиртом она, кажется, не работает.

$V = S * h$ - объем цилиндра высоты h, где
$S = \pi R^2 = \pi d^2 / 4$

Откуда объем цилиндра при h = d:
$V = (\pi d^2 / 4) * d = \pi d^3 / 4$

Отсюда Пи:
$\pi = 4 V / d^3$

В то же время из элементарной физики:
$m = s * V$, где s - плотность

Заменяя объем в предыдущей формуле на $V = m / s$:



$\pi = 4 V / d^3 = 4 m / (d^3 s)$,

что и записал бобыль. Иная плотность даст иную массу.

К Вашим формулам претензий нет. В сообщении ясно сказано, к какой именно формуле претензии.
10 % и 90% вероятнее всего весовых, точнее «массовых» частей, но никак не плотностных. Поэтому,

$\begin{gathered} \rho _i = \frac{{m_i }} {{V_i }}, \hfill \\ \rho = \frac{{am_1 + bm_2 }} {{\frac{{am_1 }} {{\rho _1 }} + \frac{{am_2 }} {{\rho _2 }}}} = \frac{{\rho _1 \rho _2 \left( {am_1 + bm_2 } \right)}} {{a\rho _2 m_1 + b\rho _1 m_2 }} \ne a\rho _1 + b\rho _2 \hfill \\ \end{gathered} $

если только $\rho _1 \ne \rho _2 $ или $a \ne 0$ или $b \ne 0$.

Если объемных частей, что маловероятно, то проделайте все сами и убедитесь, что тоже неверно.
Вообще-то я говорил о том, что даже суммарный объем при сплаве может не сохраняться.
Естественно, точность вычислений на совести автора (вычислений).

[AlexDem]

AndAll, да Вы правы - невнимательно прочитал посты. Плотности, конечно, не складываются, а усредняются. Торжественно обещаю впредь читать сообщения более внимательно

[бобыль]

Someone писал(а):

А с какой точностью Вы хотите получить число , задавая диаметр с двумя значащими цифрами?

Да, верно, плотность s входит в формулу в степени -1, а диаметр d в ней в степени -3, поэтому точность связана с ним сильнее, и уже при d = 38.95 мм (вместо 39 мм) получаем пи > 3.14 (а было < 3.14). Данные, однако, я не выдумал, а взял как есть, поэтому считаю их точными, без всякой погрешности. Так вот, пи по этим данным могло получиться больше или меньше 3.14, а получилось все-таки меньше. И это факт.

[AlexDem]

Факт в том, что, похоже, Вами (и мной) была допущена ощибка при расчете плотности Так что это какой-то ложный факт

Берем $0.5\ kg$ рыхлой ваты (допустим, плотностю $10\ kg/m^3$), и столько же воды ($1000\ kg/m^3$).

В итоге, при условии сохранения объема, мы не получим плотность $505\ kg/m^3$, а гораздо меньше, поскольку объем этой ваты изначально был много больше, чем объем воды. И вода распределяется по в 100 раз большему объему: $0.0505\ m^3$, а изначально она занимала $0.0005\ m^3$.

Как почти правильно записал AndAll, формула для эталона будет такая:

$$\frac {m_1 + m_2} {V_1 + V_2} = \frac {a + b} {a/p + b/q} = \frac {pq} {aq + bp}$$

Что даст плотность 21543.21 вместо 21547.00. Хотя и тогда значение $\pi$ получается 3.13, так что остальное - либо погрешность измерения, либо несохранение сплавом совокупного объема компонентов.

[бобыль]

Да, все так. Да, в формуле плотности "ap + bq" вместо "+" должен стоять какой-то другой, более правильный знак. Верно и то, что мм-точность для диаметра маловата и его нужно мерить, наверное, с точностью до микронов. Однако никакой информации на этот счет в доступном справочнике и учебном пособии нет, а сказано только, что эталон этот - на 90% по массе платиновый и на 10% иридиевый цилиндр диаметром и высотой 39 мм, и все. Принимая эти данные за "чистую монету", можно вычислить пи, и оно будет не 3.14 и не 3.15, а 3.13. Так и запишем.

[бобыль]

Произведение $\pi$ на плотность тела можно было бы назвать питностью этого тела. Эталонной единицей питности был бы 1 пит = $4/(0.039...)^3$ кг/кубометр. Питность эталона массы будет единичной, а питность, например, железа будет примерно в $e$ раз меньшей. Смысл питности может быть таким: чем питность тела больше, тем большее отношение оно имеет к $\pi$.

[бобыль]

Вот человеческая голова, более или менее круглая, и головной мозг, имеющий форму "сплющенного яйца", как написано в одной книжке. Можно ли использовать это для вычисления "физиологического" значения пи? Впрочем, лучше спросить об этом в теме "Плоский затылок"

http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=3579.

Еще вопрос. Числа вроде пи, е и золотой пропорции имеют очень красивые представления "фрактального" вида. Во всяком случае, глядя на них, мысль о фрактальности возникает. Вот, например, произведение Виета, уже упоминавшееся выше.

$$\frac 2 \pi = \frac {\sqrt{2}} 2 \frac {\sqrt{2 + \sqrt{2}}} 2 \frac {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} 2 ...$$

Интересно, чему равна отсюда "фрактальная" размерность числа пи?

[AlexDem]

Что-то я увлекся в физике (http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=4569&start=30), "доказывая", что электроны ничего не весят Пропустил сообщения...

А какие есть "фрактальные" формулы для e? Я кроме 2-го замечательного предела не встречал... И как подступиться к фракталу - считать, что сама запись формулы является фракталом?

У меня по фракталам есть только книжка Заславского "Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса", там хаусдорфова размерность считается для простых примеров, и я пока не понимаю, как посчитать размерность приведенной формулы...

[LymonAdd]

$exp(i\pi)=1$
Вроде же так? Вот чем не связь глобальных консант мира?

[незваный гость]

LymonAdd писал(а):

Вроде же так? Вот чем не связь глобальных консант мира?

И это не так. И в формуле ошибка. ${\rm e}^{{\rm i} \pi} = -1$