Составим функцию Лагранжа

(

). Условие

дает три одинаковых уравнения вида

и условие связи

. У кубического уравнения три корня, соответственно, возможны следующие случаи:
1)

. В силу уравнения связи, все они равны

; легко убедиться, что исходное неравенство справедливо.
2)

попарно различны; тогда они совпадают с корнями уравнения и

, откуда

. Однако у уравнения

два положительных и один отрицательный корень, поэтому данный случай невозможен (можно просто сослаться на то, что произведение корней равно

).
3)

. Так как

, перепишем исходное неравенство в виде

. При

получается равенство; замена

дает очевидно справедливое неравенство

.