Дифференциалы

[allez]

caxap в сообщении #376741 писал(а):

Производная по $t$

$dt$ -- линейная часть приращения времени,
а что тогда "чистый" $d$?

Я правильно понял $\Delta x = dx + o(x)$?

[ewert]

allez в сообщении #376684 писал(а):

Padawan писал(а):

Определение дифференциала $dy(x)=y'(x)\Delta x$. Если $y(x)=x$, то получается $dx=\Delta x$. Отсюда $dy(x)=y'(x)dx$.

Следует ли $dy(x)=y_1-y_0=\Delta y$ с того, что $dy(x)=y'(x)\Delta x$? Какая разница между $dy$ и $\Delta y$?

Содержательно -- никакой. Формальное правило таково: дифференциал $dy$ -- это функция двух переменных, а не одной: $x$ и $\Delta x$. А именно: $dy(x,\Delta x)\equiv y'(x)\cdot\Delta x$ (т.е. равно по определению). Основание для такого определения -- в том, что это выражение является "главной линейной частью" приращения функции $y(x)$ в обычном смысле: $\Delta y=dy(x,\Delta x)+o(\Delta x)$ (эта запись означает, что при маленьких $\Delta x$ второе слагаемое в правой части много меньше первого -- если, конечно, производная не равна нулю).

Польза от замены $\Delta x$ на $dx$ -- чисто формальная. Дело в том, что в сокращённой (общепринято) записи $dx$ может быть интерпретирован как дифференциал тождественной функции $g(x)\equiv x$: $dx\equiv d(x,\Delta x)=1\cdot \Delta x$. И тогда равенство $dy(x)=y'(x)dx$ -- частный случай полезного правила, согласно которому $df(g(x))=f'(g)dg$, где $dg=g'(x)dx$. Короче -- так просто исторически сложилось.

[caxap]

allez в сообщении #376756 писал(а):

$dt$ -- линейная часть приращения времени,

Если $t$ -- время, то да. Только нет смысла добавлять "линейная", если время -- независимая переменная.

allez в сообщении #376756 писал(а):

а что тогда "чистый" $d$?

Символ, значок. Можно ещё сказать "оператор", ибо $d$ можно интерпретировать как функцию, определённую на функциях.

allez в сообщении #376756 писал(а):

Я правильно понял $\Delta x = dx + o(x)$?

В $o$ должно быть приращение $x$, а не само $x$, если $x$ -- независимая переменная. Но в этом случае та $o$ будет равна $0$. Куда интересней запись с зависимой переменной: $\Delta y(h)=dy(h)+o(h)$. $h$ -- приращение независимой переменной. (Тут ещё следует понимать, что, к примеру, $\Delta x$ -- функция, и правильней записать $\Delta x(h)=h$, нежели $\Delta x=h$.)

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Вот выдумал же Лейбниц этот дифференциал... Вообще, где это понятие хорошо и удобно используется? По моему мнению, производная завсегда удобней.

[ewert]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #376801 писал(а):

Вот выдумал же Лейбниц этот дифференциал... Вообще, где это понятие хорошо и удобно используется?

ну выдумал, не застрелить же его теперь за это. Это понятие хорошо и удобно используется как неформальная связка между абстрактной математикой и её практическими приложениями. Дифференциал с позиций здравого смысла -- это бесконечно маленькое приращение, и это интуитивно всем понятно, особенно физикам (кроме продвинутых), а что эти слова означают в точности -- пусть математики и разбираются.

[JMH]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #376803 писал(а):

ну выдумал, не застрелить же его теперь за это. Это понятие хорошо и удобно используется как неформальная связка между абстрактной математикой и её практическими приложениями. Дифференциал с позиций здравого смысла -- это бесконечно маленькое приращение, и это интуитивно всем понятно, особенно физикам (кроме продвинутых), а что эти слова означают в точности -- пусть математики и разбираются.

"Лейбниц не стал бы вводить сложное обозначение $\dfrac{dx}{dt}$, если бы не имел в виду самой настоящей дроби: dx деленное на dt. Дело в том, что dx и dt - вовсе не таинственные «бесконечно малые» величины, а вполне конечные числа, точнее - функции вектора." В.И. Арнольд, "Обыкновенные дифференциальные уравнения"

[Gortaur]

Можете еще посмотреть анализ без бесконечно малых, с одной исключенной аксиомой - там немного другой подход к определению пределов и следовательно дифференциалов.

[Ales]

Joker_vD в сообщении #376801 писал(а):

(Оффтоп)

Вот выдумал же Лейбниц этот дифференциал... Вообще, где это понятие хорошо и удобно используется? По моему мнению, производная завсегда удобней.

Дифференциалы везде используются теми, кто умеет. Производные и интегралы вычисляют с помощью дифференциалов.
Многомерный криволинейный анализ - только так.
Производная - это всего лишь отношение дифференциалов.

Заслуга Лейбница именно в разработке удобного языка дифференциалов.
В свое время это оценили все математики: анализ бесконечно малых стал понятным и элементарным.
Без дифференциалов же, анализ становится сложным и мутным.

Вопрос только в том, что называть дифференциалом и как его корректно определять.
Современное строгое определение студенты понимают с трудом, поэтому им больше нравится производная.
А интуитивное нестрогое определение (бесконечно малое приращение) профессорам не нравится.

-- Чт ноя 18, 2010 12:59:22 --

Получается так:
либо ты все умеешь вычислить, но не можешь это строго обосновать,
либо ничего не умеешь, но у тебя все строго обосновано.

Есть еще выход - считать дифференциал алгебраической операцией со свойствами:
$d(x+y)=dx+dy, d(xy)=ydx+xdy$.

[ewert]

Ales в сообщении #376916 писал(а):

либо ты все умеешь вычислить, но не можешь это строго обосновать, либо ничего не умеешь, но у тебя все строго обосновано.

В разумной ситуации такого не возникает. В разумной ситуации студент параллельно воспринимает и строго формальное определение, и его лирическую интерпретацию. Но для этого необходимо, чтоб и семинарист/лектор по физике был достаточно математически грамотен, и математический ассистент вдалбливал не только набор значков.

[Padawan]

Ales в сообщении #376916 писал(а):

либо ты все умеешь вычислить, но не можешь это строго обосновать,
либо ничего не умеешь, но у тебя все строго обосновано.
$[/math].

Бывает еще два варианта -- всё умеешь посчитать и всё можешь обосновать, и ничего не умеешь ни посчитать, ни обосновать

[arseniiv]

Кроме преобразований интегралов нигде с удобством дифференциал не использовал, а точнее, его инвариантность. Наверно, это потому, что он «вшит» в выражение для интеграла. Вот если бы там что-то другое стояло, оно бы, наверно, и использовалось?

[Padawan]

При замене переменных с полными дифференциалами удобно оперировать. При вычислениях с неявными функциями.

[ewert]

Простейший пример, где дифференциалы выгодны -- дифференцирование параметрически заданной функции. Правило $y'(x)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$ надо как бы запоминать, в то время как $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{({dy\over dt})}{({dx\over dt})}$ -- вполне тривиально.

[allez]

Очень хорошие обьяснения здесь http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/video-lectures/lecture-4-chain-rule/

[Kallikanzarid]

allez
Дифференциал определяется следующим образом: говорят, что функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ дифференцируема в точке $x_0$, если существует такое число $f'(x_0)$, что

$$f(x_0 + y) - f(x_0) - f'(x_0) y = o(y).$$

В этом случае это число (определенное единственным образом, проверьте!) $f'(x_0)$ называют производной, а линейную функцию $y \mapsto f'(x_0) y$ называют дифференциалом.

Таким образом, функция вблизи точки $x_0$ раскладывается на три слагаемых: константную функцию $x_0 + y \mapsto f(x_0)$, (сдвинутый) дифференциал $x_0 + y \mapsto f'(x_0) y$ и функцию, касающуюся нуля (то, что осталось). Обозначение дифференциала $\mathrm{d}f(x_0)(y) = f'(x_0) y$ используется из-за его интуитивного удобства.

Альтернативно, можно использовать нестандартный анализ, но для начала это ИМХО как-то слишком.