Дифференциалы

[allez]

Доброго времени суток!

Подскажите, где я могу почитать, почему y'(x)dx = dy(x)?
Какое геометрическое симу обьяснение.

Спасибо!

[Dan B-Yallay]

Могу посоветовать читать Ильина-Позняка до просветления. В некоторых учебниках еще предлагается такой подход:

$\dfrac{dy}{dx} = y' \hspace{10pt} \to \hspace{10pt} dy=y'dx$

[caxap]

Производная $y'(x)$, по определению -- такое отображение, которая в каждой точке $x$ переводит приращения аргумента $h$ в соответствующие приращение функции $y'(x)\cdot h$ с точностью до $o(h)$ (т. е. ошибка бесконечна мала по сравнению с $h$). А дифференциал -- это "приращение с точностью до $o(h)$" и есть. Поэтому $y'(x)\cdot h=dy(x)$. ($dx(h)=h$: приращение независимой переменной равно дифференциалу.)

[moscwicz]

allez в сообщении #374451 писал(а):

Подскажите, где я могу почитать, почему y'(x)dx = dy(x)?

если угодно, это символическая запись формулы замены переменной в интеграле

$$\int f(y)dy=\int f(y(x))y'(x)dx$$

[Ales]

allez в сообщении #374451 писал(а):

Доброго времени суток!

Подскажите, где я могу почитать, почему y'(x)dx = dy(x)?
Какое геометрическое симу обьяснение.

Спасибо!

Это на самом деле - определение производной, только записанное в другую сторону.
При вводе нового понятия (производной) через известные (бесконечно малые приращения) в принципе не дают объяснения "почему".
Но можно зато сказать "зачем" оно вводится: чтобы исследовать величины (как функции от других величин) вблизи известных значений, заменяя саму функцию ее линейной частью.
Геометрический смысл: по этому определению, производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции.

[moscwicz]

Ales в сообщении #374530 писал(а):

через известные (бесконечно малые приращения)

дайте определение бесконечно малого приращения

[Ales]

moscwicz в сообщении #374555 писал(а):

Ales в сообщении #374530 писал(а):

через известные (бесконечно малые приращения)

дайте определение бесконечно малого приращения

Конечно, в стандартных курсах нет таких определений, и не зря в свое время стоял вопрос о строгом обосновании анализа.
"Бесконечно малое" - интуитивное понятие и оно обозначает достаточно малую величину, или если хотите, последовательность монотонно приближающуюся к нулю.
Мое объяснение не строгое (свободное).
Разные строгие объяснения уже были приведены. Но человеку надо разобраться и привыкнуть.
Главное - его не запутать.

[Padawan]

allez в сообщении #374451 писал(а):

Доброго времени суток!

Подскажите, где я могу почитать, почему y'(x)dx = dy(x)?
Какое геометрическое симу обьяснение.

Спасибо!

Определение дифференциала $dy(x)=y'(x)\Delta x$. Если $y(x)=x$, то получается $dx=\Delta x$. Отсюда $dy(x)=y'(x)dx$.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #374603 писал(а):

Определение дифференциала $dy(x)=y'(x)\Delta x$. Если $y(x)=x$, то получается $dx=\Delta x$. Отсюда $dy(x)=y'(x)dx$.

Ну чего-то Вы тут накрутили. Начиная с того, что в $dy(x)=y'(x)\Delta x$ справа дельта есть, а слева -- увы. Кроме того, второй игрек явно не имеет отношения к первому, если учесть, что он потом в первый как бы подставляется. В общем, как-то неудачно вышло.

[Padawan]

(Оффтоп)

ewert
Ничего не понял. Ну пусть будет не $y(x)$, а $f(x)$. Всё. Про дифференциалы больше ничего не буду писать

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #374635 писал(а):

Про дифференциалы больше ничего не буду писать

И правильно. Ну их, одна головная боль от разноголосицы в формулировках, притом совершенно не содержательной. Вот и я ничего не написал.

[allez]

Padawan писал(а):

Определение дифференциала $dy(x)=y'(x)\Delta x$. Если $y(x)=x$, то получается $dx=\Delta x$. Отсюда $dy(x)=y'(x)dx$.

Следует ли $dy(x)=y_1-y_0=\Delta y$ с того, что $dy(x)=y'(x)\Delta x$? Какая разница между $dy$ и $\Delta y$?

[caxap]

Дельта -- приращение функции. А $d$ -- линейная часть приращения. Если аргумент $x$ мы изменили на $h$, то $\Delta y=y(x+h)-y(x)$, а $dy=A\cdot h$, т. е. какое-то число (которое называют производной), умноженное на $h$. Причем это число $A$ берётся не с потолка, а так, чтобы разностью $\Delta y-dy$ была бесконечно малая, по сравнению с $h$. Такое $A$ одно -- все другие дают ошибку $\Delta y-dy$ больше.

[allez]

Как следует понимать выражение $\frac d {dt}$?

[caxap]

Производная по $t$