Попытка доказательства Теоремы Ферма

[natalya_1]

yk2ru в сообщении #328050 писал(а):

В знаменатели именно квадрат от $d$?

Да.
И еще $\frac{c^2p}{d^2}$ - целое число.

[dmd]

natalya_1 в сообщении #328079 писал(а):

И еще $\frac{c^2p}{d^2}$ - целое число.

Покажите, пожалуйста, как у Вас получилось без коэффициента $12$. У меня выходит только $d^2|12 c^2 p$.

И как получаете это:

natalya_1 в сообщении #328037 писал(а):

Вообще говоря, $\frac{p(a+b)}{d^2}$ - целое число. Это доказывается.

у меня получилось только $d^2|12p(a+b)^2$

[yk2ru]

И значит, если иначе записать:
$\frac{p(a+b)}{d^2}$ = $\frac{p(c+d)}{d^2}$ = $\frac{p}{d}(\frac{c}{d}+1)$ - целое число.

[natalya_1]

dmd в сообщении #328089 писал(а):

Покажите, пожалуйста, как у Вас получилось без коэффициента $12$. У меня выходит только $d^2|12 c^2 p$.

Я получала из Ваших же уравнений (используя делимость $d$ на $3$ и равенство двух выражений нулю (там происходит при их приравнивании сокращение одинаковых членов), можно наверное какими-то другими способами.
А вообще проверяется легко возведением в куб с использованием моей формулы $d^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$

-- Сб июн 05, 2010 21:43:00 --

Вот этих:
$6 a^2 d^2-4 a d^3+d^4-6 a^2 p+3 p^2=0$

$6 b^2 d^2-4 b d^3+d^4-6 b^2 p+3 p^2=0$, получается, что
$\frac{p(a-b)(a+b)}{d^2}$-целое число,дальше я рассматривала четность числителя и знаменателя, и удалось избавиться от $a-b$в числителе, а потом проверила возведением в куб. А из этого следует:

Целое число $\frac{pc}{d}=\frac{pc(a+b-c)}{d^2}=\frac{pc(a+b)}{d^2}-\frac{pc^2}{d^2}$=> $\frac{pc^2}{d^2}$ -целое число.

[dmd]

Да, теперь ясно.

Но какой же вывод можно сделать, наблюдая две делимости $d|cp$ и $d^2|c^2p$?

[dmd]

natalya_1 в сообщении #328094 писал(а):

$d^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$

Замечательная формула.

(Оффтоп)

Удивительно, насколько формульно многогранной оказалась исходная задача, после введения в неё $d$ и $p$. Хотя может это и не даст ничего в итоге, но в любом случае - интересно.

Ещё формулы:

$2 d^3=3 (a+b) (d^2-p)$

$d^2-p=2(c-a)(c-b)$

$a b-c d=(c-a)(c-b)$


И ранее приводившаяся формула для $c$:

$c=\frac{d \left(3 p-d^2\right)}{3 \left(d^2-p\right)}=\frac{d }{3 }\left(\frac{2p}{\left(d^2-p\right)}-1\right)$

[natalya_1]

Да, соотношения очень красивые получаются. Например, вот такое:
$p=\frac{d^2(a+b+2c)}{3(a+b)}$.
Но я не уверена, что поиск этих соотношений приведет к доказательству. (Я очень много в свое время таких соотношений находила. Если интересно, могу выложить).
Хотя мне с самого начала казалось, что доказательство должно быть основано на разнице разложения на множители четных и нечетных степеней и коэффициэнтов, которые получаются при этом разложении на множители. Именно поэтому и возникли $p$ и $d$.

[dmd]

Ещё уравнения

$2 a b+p-2 d (a+b)+d^2=0$

$2 b^2-2 b c-p-2 b d+2 c d+d^2=0$

$2 a^2 - 2 a c - p - 2 a d + 2 c d + d^2=0$

и соответствующие делимости

$\frac{2 a b+p}{d}$

$\frac{2a (c-a)+p}{d}$

$\frac{2b (c-b)+p}{d}$



Делимость, вытекающая из $\frac{abc}{d}$:

$\frac{ab(a+b)}{d}$

[dmd]

$2 c d^2=(a+b)(3 p-d^2)$



$\frac{6 a b p^2}{d^2}$, $\frac{3p^2(a+b)}{d^3}$, $\frac{p^2}{(c-a)(c-b)}$ - натуральные числа

[natalya_1]

dmd в сообщении #330744 писал(а):

$\frac{6 a b p^2}{d^2}$- натуральные числа

Если это так, то из этого следует, что $c$ не делится на $3$, поскольку, если $c$делится на $3$, и числитель должен делится на $9$ (т.к. $d^2$ делится на $9$), а $p$не делится на $3$, $a$ и $b$ не делятся на $3$, значит, числитель делится только на $3$, а не на $9$.
Напишите, пожалуйста, как Вы к этому пришли.

[dmd]

К сожалению, опять ошибка.

dmd в сообщении #330744 писал(а):

$\frac{6 a b p^2}{d^2}$- натуральные числа

Это не верно.

(Оффтоп)

в одном из преобразований нашёл, что $-3 a^2 p^2-6 a b p^2-3 b^2 p^2+3 a c p^2+3 b c p^2$ делится на $d^2$, потеряв случайно первый минус, и сделал неправильный вывод, (.

natalya_1 в сообщении #331303 писал(а):

Если это так, то из этого следует, что $c$ не делится на $3$, поскольку, если $c$делится на $3$, и числитель должен делится на $9$ (т.к. $d^2$ делится на $9$), а $p$не делится на $3$, $a$ и $b$ не делятся на $3$, значит, числитель делится только на $3$, а не на $9$.

Даже если и было это напрасное рассуждение, не могли бы Вы пояснить его - не смог уловить Вашу логику, но интерес остался.

[natalya_1]

Если рассматривать $p$ и $d$, то $d$ делится на $3$ при любых значениях $a$ , $b$ и $c$.
$p$ делится на $3^2$, если $a$или $b$ делится на $3$. Если $c$делится на $3$, то $(a+b)$ делится на $3^2$, $(a^2+b^2+2ab)$ делится на $3^4$, следовательно, $a^2+b^2$не может делиться на $3$ (поскольку в этом случае $2ab$должно делиться на $3$), а следовательно $p$не делится на $3$, если $c$ делится на $3$.

[natalya_1]

В результате преобразований у меня вот еще получилось:
$\frac{2c}{2c-(a+b)}$- целое число (если $c$- четное).
Или:
$\frac{c}{2c-(a+b)}$ - целое число (если $c$ - нечетное)

[natalya_1]

Дальше легко доказывается, что это невозможно ...
....
Буду искать ошибку.

[natalya_1]

Проверила, но дальше это ничего не дает, кроме
$8(a^2-ab+b^2) -12c^2 +6c(a+b) -(a+b)^2 =8$ (если с-четное)
или
$8(a^2-ab+b^2) -12c^2 +6c(a+b) -(a+b)^2 =1$ (если с- нечетное)

Теперь решать квадратное уравнение... если это что-то даст.