2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение17.11.2010, 16:34 


13/10/09
283
Ukraine
paha писал(а):
если уж лень руками считать..

Ладно, повторю выкладки формально, которые я делаю. Рассмотрим все алгебры в $\mathbb{R}^3$ с единицей $e_1=1$. Тогда остальные независимые единицы $e_2$ и $e_3$ будут в общем случае удовлетворять системе «уравнений»:

$e_2 e_2 = a_{22}^1 + a_{22}^2 e_2 + a_{22}^3 e_3$
$e_2 e_3 = a_{23}^1 + a_{23}^2 e_2 + a_{23}^3 e_3$
$e_3 e_2 = a_{32}^1 + a_{32}^2 e_2 + a_{32}^3 e_3$
$e_3 e_3 = a_{33}^1 + a_{33}^2 e_2 + a_{33}^3 e_3$

где $a_{i j}^k$ - соответствующий тензор 3-го порядка, вида $(1, 2)$, все коэффициенты которого действительные. Всего 12 чисел. Условия ассоциативности или коммутативности на структурные коэффициенты $a_{i j}^k$ мы не накладываем.

Пусть некоторое семейство неизоморфных $\mathcal{B}_m^3$ алгебр в $\mathbb{R}^3$ состоит из тех алгебр, у которых только $m$ структурных коэффициентов не равно нулю. Очевидно, что $0 \leqslant m \leqslant 12$. Случай $m=0$ означает, что все структурные константы равны нулю. Так что в семейство $\mathcal{B}_0^3$ входит только одна алгебра, которую логично обозначить $\mathbb{P}_3$, по аналогии с «параболической алгеброй» в случае $n=2$.

Далее, рассмотрим семейство алгебр $\mathcal{B}_1^3$. У них только один структурный некоторый коэффициент $a_0$ не равен нулю. Если мы сожмем ось с $e_2$ или $e_3$ в $|a_0|$ раз, то получим $a_0 = \pm 1$. Этот коэффициент может занимать любую из 12-ти позиций. Очевидно, что изоморфными будут алгебры, которые получаются взаимозаменой $e_2$ и $e_3$ или отражением одной из этих единиц. Это даст нам девять неизоморфных алгебр семейства $\mathcal{B}_1^3$. Все они легко описываются. Будут или не будут они коммутативными или ассоциативными, будет следовать уже из условий доказываемых терем или лемм.

Другие значения $m$ будут описывать большее количество неизоморфных алгебр, но более громоздки для исследования. Для этой работы нужно просто настроение :roll:. Возможно, некоторые семейства будут пересекаться, это тоже надо будет показать в соответствующих теоремах / леммах.

Я сейчас более занят поиском подобных результатов у «буржуев». Кое-что уже «накопал» :roll:. Например,

I.S. Rakhimov и др. «Complete lists of low dimensional complex associative algebras».
Aaron Armour. «The algebraic and geometric classification of four dimensional superalgebras».
T. Danna-Picard и др. «Graphic representations for associative algebras».

paha писал(а):
мысль пришла как общаться с неассоциативными алгебрами: искать в них идеал $I$, порожденный ассоциаторами, т.е. элементами вида $(a,b,c)=(ab)c-a(bc)$. Фактор по этому идеалу ассоциативен, а сам идеал автоматически двусторонний из-за соотношения $a(b,c,d)=(a,b,c)d\,{\rm mod}\,I$

Ну, Вы можете проводить собственные исследования. Дадите ссылку, сошлюсь на Вас :roll:.

paha писал(а):
Scholium писал(а):
Другими словами, «структурные теоремы» слишком грубые для конструктивного построения классов неизоморфных алгебр.

ну, это Вы сгоряча... будет время -- напишу как из структурных теорем для ассоциативных алгебр всё получается при $n=2,3$

Было бы очень интересно почитать.

paha писал(а):
Scholium писал(а):
(в данном, двухмерном случае - $\,i, j, \epsilon$).


все-таки $j,\epsilon$ с натяжкой можно назвать "единицами"... Это просто некоторые "канонические" векторы, дополняющие настоящую единицу до базиса в $\mathbb{R}^2$

Вам нравится единицы кватернионов, октав / октанионов или седенионов (в $\mathbb{R}^{16}$) называть "канонические" векторы? Что-то я нигде не встречал такого названия. Так что, по-моему, это вполне полноценные единицы. Я даже думаю найти или доказать «теорему о независимых алгебраических единицах».

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение17.11.2010, 17:51 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Давайте начнем классификацию с размерности 2 с условием ассоциативности степеней.
1) Имеется элемент $x$, что $y=x*x\not =ax$.
Тогда достаточно определить $x*y=y*x=ax+by$, при этом $y*y=(a+b)y+abx$.
1.1 Случай $b=0$. Тогда $x^3=ax$, взяв $x_1=cx,y_1=x_1^2$ получаем $x_1^3=c^2ax$. Это приводит к трем не изоморфным алгебрам
1.1.1. $x,y=x^2, x^3=0, xy=yx=yy=0$.
1.1.2 $x,y=x^2,x^3=x= xy=yx, y^2=y$
1.1.3 $x,y=x^2,x^3=-x=xy=yx,y^2=-y.$
1.2 случай $b\not =0$. Вначале нормируем $b=1$ взяв $x_1=cx$. Тогда $y_1=x_1^2=c^2x^2=c^2y,x_1^3=x_1y_1=y_1x_1=ac^2x_1+bcy_1$, взяв $c=1/b$ получим $b=1$.
Если $a=0$, то получаем не изоморфную предыдущим алгебру $x^2=y,xy=yx=y,y^2=y$.
Если $a\not =0$ возьмем $x_2=x_1+cy_1,y_2=x_2^2,x_2^3=x_2y_2=y_2x_2=ax_1[1+3c+3c^2(a+1)+c^3(1+2a)]+y_1[1+3c(a+1)+c^2(4+5a)+c^3(a^2+3a+1)]$
Всегда можно выбрать с так, чтобы $x_2^3$ было пропорционально или $x_2$ или $y_2$. Т.е. этот случай не дает новых алгебр.
2) Случай, когда квадрат любого элемента выражается через самого элемента.
Тогда их можно нормировать так, что $x^2=ax,y^2=by$, где $a,b$ равны нулю или 1.
2.1 Случай $a=b=0$ дает двумерную алгебру Ли. Их всего два вида.
2.2 Случай $a=1,b=0$. Взяв $(cx+dy)^2=c^2x+cd(xy+yx)=e(cx+dy)\to xy+yx=y,e=c$. В этом случае $y$ единственный элемент (c точностью до пропорциональности) квадрат которого ноль. Можно выбирать х. Пусть $xy=ax+by, x_1=cx+dy, x_1y=c(ax+by)$
Таким образом имеем или $x^2=x,y^2=0,xy=0,yx=-y$ или нормируя получаем
$x^2=x,y^2=0,xy=x,yx=-y$.
2.3 Случай $a=b=1$. Взяв $(cx+dy)^2=c^2x+2cd(xy+dx)+d^2y=e(cx+dy)$. В этом случае, не существует $e=e(c,d)$ ни при каком законе умножения. Т.е. такой алгебры с ассоциативными степенями нет.
Проверяйте классификацию двумерных алгебр с ассоциативными степенями. Тогда следующим шагом будет классификация трехмерных алгебр с ассоциативными степенями (возможно с предварительном случаем алгебр с единицей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение17.11.2010, 18:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Scholium в сообщении #376513 писал(а):
paha писал(а):
Scholium писал(а):
Другими словами, «структурные теоремы» слишком грубые для конструктивного построения классов неизоморфных алгебр.

ну, это Вы сгоряча... будет время -- напишу как из структурных теорем для ассоциативных алгебр всё получается при $n=2,3$

Было бы очень интересно почитать.
Я пока случай двумерных ассоциативных с единицей (те самые $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$)
Пусть есть двумерная ассоциативная алгебра $A$ с единицей над полем $k$. Возможны два случая - $\dim \mathrm{rad} A = 0$ и $\dim \mathrm{rad} A = 1$.

Во втором случае радикал должен быть нулевой алгеброй, т.к. он нильпотентен. Т.е. $\mathrm{rad} A = Z^1_k$(я так нулевую алгебру размерности 1 над $k$ обозначаю) и $A/\mathrm{rad} A = k$. Следовательно, $A = k1 + ke$, где $ke$ - нулевая алгебра, т.е. $e^2 = 0$. (Это вообще очевидно, но если уж доказывать через теоремы, то можно сослаться на теорему Веддербёрна-Мальцева)

В первом случае алгебра полупростая, и, стало быть, рскладывается на простые сомножители. Т.к. $\dim A = 2$, то это либо $k\times k$, либо расширение $K$ поля $k$, степень которого равна 2 (Если такое существует). (Т.к. алгебра с делением имеет размерность $n^2$ над своим центром, варианта некоммутативной алгебры с делением тут нет. Матричных алгебр, разумеется, тоже быть не может)

Хм. Честно говоря, когда начинал писать, думал, что будет сложнее.
Цитата:
paha писал(а):
Scholium писал(а):
(в данном, двухмерном случае - $\,i, j, \epsilon$).


все-таки $j,\epsilon$ с натяжкой можно назвать "единицами"... Это просто некоторые "канонические" векторы, дополняющие настоящую единицу до базиса в $\mathbb{R}^2$

Вам нравится единицы кватернионов, октав / октанионов или седенионов (в $\mathbb{R}^{16}$) называть "канонические" векторы? Что-то я нигде не встречал такого названия. Так что, по-моему, это вполне полноценные единицы. Я даже думаю найти или доказать «теорему о независимых алгебраических единицах».
А как Вы выделяете эти единицы? Почему $i$ или $j$ - единица, а $1+i$ или $1+j$ - нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение17.11.2010, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Scholium в сообщении #376513 писал(а):
Вам нравится единицы кватернионов

это т.н. "мнимые единицы"... а ту самую нильпотентную $\epsilon$ с трудом можно сюда отнести

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение17.11.2010, 21:40 


13/10/09
283
Ukraine
Scholium писал(а):
Далее, рассмотрим семейство алгебр $\mathcal{B}_1^3$. У них только один структурный некоторый коэффициент $a_0$ не равен нулю. Если мы сожмем ось с $e_2$ или $e_3$ в $|a_0|$ раз, то получим $a_0 = \pm 1$. Этот коэффициент может занимать любую из 12-ти позиций. Очевидно, что изоморфными будут алгебры, которые получаются взаимозаменой $e_2$ и $e_3$ или отражением одной из этих единиц. Это даст нам девять неизоморфных алгебр семейства $\mathcal{B}_1^3$. Все они легко описываются. Будут или не будут они коммутативными или ассоциативными, будет следовать уже из условий доказываемых терем или лемм.

Пожалуй, семейство $\mathcal{B}_1^3$ содержит не 9 неизоморфных алгебр, а только 6. Я забыл про сдвиги осей с $e_2$ и $e_3$. Обозначим для простоты $e_2 = i$ и $e_3 = j$. Тогда эти 6 канонических алгебр будут иметь следующие таблицы умножения (с одним ненулевым структурным коэффициентом!):

1-2) $i^2 = \pm 1$, $i j = j i = j^2 = 0$;
3-4) $i^2 = \pm j$, $i j = j i = j^2 = 0$;
5-6) $i j = \pm 1$, $i^2 = j i = j^2 = 0$.

Остальные комбинации структурных констант изоморфны этим, за счет взаимозамены $i$ и $j$, сдвигов и сжатия $i$ или $j$ и отражения $i$ или $j$.

-- Ср ноя 17, 2010 23:32:42 --

Руст писал(а):
Давайте начнем классификацию с размерности 2 с условием ассоциативности степеней.
. . .
Проверяйте классификацию двумерных алгебр с ассоциативными степенями. Тогда следующим шагом будет классификация трехмерных алгебр с ассоциативными степенями (возможно с предварительном случаем алгебр с единицей).

Вы как-то все сильно усложняете. Я полностью стою на классических позициях выражения конечномерных алгебр над полем через структурные алгебраические константы, которые представляют собой трехмерный тензор ранга (1,2). Вот цитата из Р. Пирса:

«Если $F$ - поле и $A$ - некоторое $F$-пространство с базисом $e_1, . . . , e_n$, то структура неассоциативной $F$-алгебры на $A$ определяется заданием произведений

$e_i e_j = \sum_{k=1}^n a_{ij}^k e_k$, $a_{ij}^k \in F$, $1 \leqslant i, j \leqslant n$. (*)

. . . Каждая $n$-мерная $F$-алгебра $A$может быть определена (с точностью до изоморфизма) заданием соответствующих структурных констант $a_{ij}^k$. С другой стороны, произвольный выбор структурных констант не всегда обеспечивает ассоциативность умножения и существование единицы. Кроме того, различные наборы структурных констант могут приводить к изоморфным алгебрам. . .

Непосредственное вычисление . . . показывает, что ассоциативность эквивалентна тому, что структурные константы удовлетворяют следующему соотношению:

$\sum_{r=1}^n a_{ij}^r a_{rk}^s = \sum_{r=1}^n a_{jk}^r a_{ir}^s$, при $1 \leqslant i, j, k, s \leqslant n$ (**)

. . . Обеспечить, чтобы соотношения (*) определяли алгебру с единицей, проще всего, чтобы один из базисных элементов, скажем $e_1$, действовал как единица. Это, очевидно, эквивалентно тому, что

$a_{1j}^k = a_{j1}^k = \delta_{jk}$ при $1 \leqslant j, k \leqslant n$, (***)

где $\delta_{jk}$ - обычный символ Кронекера.»


Соотношения (***) я использую, а соотношения (**) нет. Если Вы делаете наоборот, то хотя бы пусть это будет оформляться в классическом стиле. Иначе Вас очень трудно понять. Если скажем, условие ассоциативности вида (**) для $e_i (e_j e_k) = (e_i e_j) e_k$ Вас не устраивает, то можно выписать аналогичные условия для альтернативности, эластичности, лиевости, йордановости и т.д. Просто в таком стиле это более понятно. Для меня, по крайней мере, :roll:.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение17.11.2010, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
у Руст используется условие ассоциативности степеней (power-associativity): $x^i x^j = x^{i+j}$, где $x^1 = x$, $x^{i+1} = x^i\cdot x$. В характеристике 0 это эквивалентно тому, что $x(xx) = (xx)x,\ (xx)(xx) = x(x(xx))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение17.11.2010, 23:07 


13/10/09
283
Ukraine
Xaositect писал(а):
Я пока случай двумерных ассоциативных с единицей (те самые $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$)
Пусть есть двумерная ассоциативная алгебра $A$ с единицей над полем $k$. Возможны два случая - $\dim \mathrm{rad} A = 0$ и $\dim \mathrm{rad} A = 1$.

Во втором случае радикал должен быть нулевой алгеброй, т.к. он нильпотентен. Т.е. $\mathrm{rad} A = Z^1_k$(я так нулевую алгебру размерности 1 над $k$ обозначаю) и $A/\mathrm{rad} A = k$. Следовательно, $A = k1 + ke$, где $ke$ - нулевая алгебра, т.е. $e^2 = 0$. (Это вообще очевидно, но если уж доказывать через теоремы, то можно сослаться на теорему Веддербёрна-Мальцева)

В первом случае алгебра полупростая, и, стало быть, рскладывается на простые сомножители. Т.к. $\dim A = 2$, то это либо $k\times k$, либо расширение $K$ поля $k$, степень которого равна 2 (Если такое существует). (Т.к. алгебра с делением имеет размерность $n^2$ над своим центром, варианта некоммутативной алгебры с делением тут нет. Матричных алгебр, разумеется, тоже быть не может)

Хм. Честно говоря, когда начинал писать, думал, что будет сложнее.

Вот непосредственное доказательство. Я не требую ассоциативности в двумерном случае, она следует из существования единицы.

Структурные коэффициенты (*), согласно (***) (см. выше), с учетом определения $e_1 = 1$ и $e_2 = i$ дадут «уравнение»

$i^2 = p + q i$

или

$I \equiv (i-\frac{q}{2})^2 = p + \frac{q^2}{4} \equiv u$.

Возможны варианты:

1. $u = 0$. Тогда $I^2 = 0$ и мы получаем «параболическую» алгебру.
2. $u \neq 0$. Тогда $I \equiv (i-\frac{q}{2})^2 \frac{1}{|u|} = \pm 1$, что дает «гиперболическую» и «эллиптическую» алгебры.

Как видите, не намного сложнее :roll:.

Xaositect писал(а):
А как Вы выделяете эти единицы? Почему $i$ или $j$ - единица, а $1+i$ или $1+j$ - нет?

Р. Пирс называет эти единицы «базисными элементами». Может быть это будет точнее. Естественно, если $1+i$ или $1+j$ образуют базис, то вполне могут быть названы «независимыми единицами», в смысле «базисные элементы». Считайте мое название просто синонимом. Иногда, чтобы подчеркнуть, выделенность «обычной» единицы, я называю ее «нейтральной единицей». Тоже можно считать синонимом. Впрочем, если это напрягает, я могу использовать только слова «единица» и «базисные элементы».

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение17.11.2010, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Scholium в сообщении #376753 писал(а):
Как видите, не намного сложнее .
Ну, Вы утверждали, что с помощью структурных теорем вообще классифицировать сложно. Вот я и решил это проделать. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение18.11.2010, 08:44 


13/10/09
283
Ukraine
paha писал(а):
это т.н. "мнимые единицы"... а ту самую нильпотентную $\epsilon$ с трудом можно сюда отнести

Ну, «базисные элементы» Вас больше устраивают? Конечно, «нильпотентная единица» отличается по свойствам от «мнимых единиц». Но в алгебре, «обычная единица», «мнимые единицы» являются «базисными элементами». «Нильпотентная единица» тоже «базисный элемент». Так почему все их не отнести к семейству «независимых единиц»?

-- Чт ноя 18, 2010 09:48:17 --

Xaositect писал(а):
у Руст используется условие ассоциативности степеней (power-associativity): $x^i x^j = x^{i+j}$, где $x^1 = x$, $x^{i+1} = x^i\cdot x$. В характеристике 0 это эквивалентно тому, что $x(xx) = (xx)x,\ (xx)(xx) = x(x(xx))$

Прекрасно! Ну, так давайте выпишем для них условие на структурные константы по аналогии с (**). Тогда всем все будет понятно. Дальше его анализ со структурными коэффициентами не вызовет вопросов.

-- Чт ноя 18, 2010 10:01:20 --

Xaositect писал(а):
Ну, Вы утверждали, что с помощью структурных теорем вообще классифицировать сложно. Вот я и решил это проделать. :)

Мне и сейчас не кажется, что просто. Фактически, Вы доказали классификационную теорему для $n=2$ на базе структурных теорем (с избыточным, правда, условием). Если Вы проделаете подобную работу для $n=3$ и, может быть, выше, то вполне можете публиковать Ваш результат, как достаточно новый. А я cмогу сослаться на Вашу классификацию ибо пишу статью, в которой мне нужно будет упомянуть о классификации алгебр в $\mathbb{R}^n$, хотя бы для малых $n$. А также показать какие алгебры из них будут коммутативно-ассоциативными, какие только коммутативными или ассоциативными и какие вообще «никакие» :roll:. Потом из этой «кучи» алгебр выбрать некоторую «особенную» и уже «плясать» вокруг нее :roll:.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение18.11.2010, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Scholium в сообщении #376874 писал(а):
Xaositect писал(а):
Ну, Вы утверждали, что с помощью структурных теорем вообще классифицировать сложно. Вот я и решил это проделать. :)

Мне и сейчас не кажется, что просто. Фактически, Вы доказали классификационную теорему для $n=2$ на базе структурных теорем (с избыточным, правда, условием). Если Вы проделаете подобную работу для $n=3$ и, может быть, выше, то вполне можете публиковать Ваш результат, как достаточно новый. А я cмогу сослаться на Вашу классификацию ибо пишу статью, в которой мне нужно будет упомянуть о классификации алгебр в $\mathbb{R}^n$, хотя бы для малых $n$. А также показать какие алгебры из них будут коммутативно-ассоциативными, какие только коммутативными или ассоциативными и какие вообще «никакие» :roll:. Потом из этой «кучи» алгебр выбрать некоторую «особенную» и уже «плясать» вокруг нее :roll:.
Ну, для $n=3$ вряд ли в приличный журнал примут, тем более что у всех есть смутные сомнения, что кто-то это уже сделал. Могу pdf куда-нибудь положить. Для $n=5$ есть у Мацоллы, по поводу $n=4$ он куда-то ссылается. Да и тем более для $n>4$ мне делать это лень, у меня свои задачи есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение18.11.2010, 15:44 


13/10/09
283
Ukraine
Xaositect писал(а):
Ну, для $n=3$ вряд ли в приличный журнал примут, тем более что у всех есть смутные сомнения, что кто-то это уже сделал. Могу pdf куда-нибудь положить. Для $n=5$ есть у Мацоллы, по поводу $n=4$ он куда-то ссылается. Да и тем более для $n>4$ мне делать это лень, у меня свои задачи есть.

Насчет pdf. Вы может легко и быстро создать сайт на народе ру по типу моего и там выложить свою работу. Если есть проблемы с созданием шаблона сайта, можете спокойно скопировать мой, вставив свои реквизиты и текстовку. У меня на публикацию там своего pdf заняло всего несколько дней. Все html файлы я редактировал вручную с помощью NotePad++ (npp) – очень удобный и бесплатный текстовый редактор. Могу проконсультировать по другим техническим вопросам.

G. Mazzola рассматривал только ассоциативные алгебры размерности 5. И над алгебраически замкнутым полем. Мы же рассматриваем алгебры над алгебраически незамкнутым полем $\mathbb{R}$ и, кроме того, условие ассоциативности не предполагаем изначально, только наличие единицы. Конечно, интересно будет полученные алгебры разделить на группы коммутативных, ассоциативных и тому подобное. Желательно с какими-то характерными их свойствами. Так что пока похожей задачи даже для случая $n=3$ не наблюдается.

Я прошелся по ссылкам Мазолы и дал найденные интересные ссылки несколько постов назад. Везде алгебры ассоциативные или поле комплексное или супералгебра.

Думаю, достаточно даже будет если Вы разберете случай только для $n=3$ и $n=4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение18.11.2010, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну так у меня тоже только ассоциативные. Для неассоциативных в общем случае структурных теорем нет, а в частных я их не помню :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение18.11.2010, 16:51 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Цитата:
G. Mazzola рассматривал только ассоциативные алгебры размерности 5. И над алгебраически замкнутым полем. Мы же рассматриваем алгебры над алгебраически незамкнутым полем $\mathbb{R}$ и, кроме того, условие ассоциативности не предполагаем изначально, только наличие единицы. Конечно, интересно будет полученные алгебры разделить на группы коммутативных, ассоциативных и тому подобное. Желательно с какими-то характерными их свойствами. Так что пока похожей задачи даже для случая $n=3$ не наблюдается.

Я прошелся по ссылкам Мазолы и дал найденные интересные ссылки несколько постов назад. Везде алгебры ассоциативные или поле комплексное или супералгебра.

Думаю, достаточно даже будет если Вы разберете случай только для $n=3$ и $n=4$.


Наличие 1 не сильно ограничивает количество не изоморфных алгебр. Любой алгебре размерности $n-1$ можно добавить новый элемент и объявит её $1$. Поэтому добавление 1 примерно только уменьшает размерность на 1 в общей классификации. Уже трехмерных даже с 1 будет континиум не изоморфных. Наличие ассоциативности степеней сильно ограничивает количество неизоморфных, в то же время обхватывает все интересные случаи (альтернативные, йордановые и лиевые). Поэтому я ратую за классификацию именно в такой постановке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение18.11.2010, 18:05 


13/10/09
283
Ukraine
Xaositect писал(а):
Ну так у меня тоже только ассоциативные. Для неассоциативных в общем случае структурных теорем нет, а в частных я их не помню :)

Жаль. Придется, по-видимому, вручную разбирать семейства $\mathcal{B}_m^3$ и выше. Это не сильно прикалывает, но лучше, чем ничего :roll:.

Руст писал(а):
Наличие 1 не сильно ограничивает количество не изоморфных алгебр. Любой алгебре размерности $n-1$ можно добавить новый элемент и объявит её $1$. Поэтому добавление 1 примерно только уменьшает размерность на 1 в общей классификации. Уже трехмерных даже с 1 будет континиум не изоморфных. Наличие ассоциативности степеней сильно ограничивает количество неизоморфных, в то же время обхватывает все интересные случаи (альтернативные, йордановые и лиевые). Поэтому я ратую за классификацию именно в такой постановке.

Континуум не пугает, если перейти к параметрической форме неизоморфных алгебр. А при ручном исследовании алгебр, даже при малых $n$, присутствие единицы существенно снижает сложность задачи. С 8 до 2 при $n=2$, с 27 до 12 (еще на 4 можно уменьшить за счет линейных преобразований) при $n=3$ и т.д.

Я предпочитаю получить все классы алгебр и уже потом делить их на всякие там разные подклассы. Сначала мы «молились» на коммутативность, потом легко отказались от нее (например, исчисление некоммутативных операторов в Квантовой механике), потом идеализировали ассоциативность. Но теже октавы (с ослабленной ассоциативностью) уже применяются в теорфизике. Все числа Кэли-Диксона вроде бы обладают степенной ассоциативностью и даже условием эластичности и «йорданновой ассоциативностью». Но для них даже нет названия в пространстве $\mathbb{R}^{32}$ и выше, то бишь они не шибко используются на практике. Просто я полагаю, что завтра вполне могут спокойно отказаться от ассоциативности вообще и даже найти под это дело приложения. И почему бы заранее не «посмотреть» на неассоциативные алгебры, хотя бы малых размерностей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?
Сообщение18.11.2010, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Scholium в сообщении #377028 писал(а):
Придется, по-видимому, вручную разбирать семейства $\mathcal{B}_m^3$ и выше

я ж Вам говорю: фактор алгебры по идеалу, порожденному ассоциаторами, ассоциативен

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group