Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?

[Scholium]

paha писал(а):

Scholium
ну... давайте прямо тут классифицируем ВСЕ (без доп. ограничений) двумерные алгебры над $\mathbb{R}$

я начну: пусть $e_1,e_2$ -- базис нашего подлежащего пространства

$$ e_1\cdot v=A_1 v,\quad e_2\cdot v=A_2 v $$

здесь $A_i$ -- линейные операторы (дистрибутивность)

сможете продолжить?

Я уже писал, что меня интересует присутствие единицы. Цитируемый Ричард Пирс советует в этом случае:

«Обеспечить, чтобы соотношения . . . определяли алгебру с единицей, проще всего, заранее потребовав (выделение Scholium), чтобы один из базисных элементов . . . , действовал как единица».

paha писал(а):

Т.е. наложение этого условия уменьшает количество всех структурных констант в Ваших линейных операторах с $2^3=8$ до 2 констант. А этот случай с $(p, q)$ я уже рассмотрел. В итоге имеют только три неизоморфные алгебры, ассоциативность которых для двухмерного случае следует автоматически.

А чтобы у Вас было меньше простых вопросов, почитайте параграф 1.5. Конечномерные алгебры над полем у Ричарда Пирса. Иначе мне придется целиком цитировать этот параграф .

paha писал(а):

Xaositect писал(а):

А вот при $n=3$ классификация, скажем, ассоциативных алгебр при помощи структурных теорем будет ИМХО попроще.

не ИМХО, а несравненно проще (проверено на практике)

Хорошо, а кто мне ответит на вопрос, сколь неизоморфных алгебр с единицей будет в пространстве $\mathbb{R}^3$? И сколько из них будет коммутативных, ассоциативных и всех прочих? Хорошо бы еще дать их конструктивное описание в виде независимых алгебраических единиц со всеми существенными (определяющими) свойствами, либо перечня канонических списков неизоморфных структурных констант.

[paha]

Scholium в сообщении #376093 писал(а):

Хорошо, а кто мне ответит на вопрос, сколь неизоморфных алгебр с единицей будет в пространстве $\mathbb{R}^3$?

я и предлагаю Вам их найти:

Выберем базис $e_1,e_2,e_3$,

paha в сообщении #376063 писал(а):

в котором $e_3$ -- единица

тогда
paha в сообщении #375998 писал(а):

$$ e_1\cdot v=A_1 v,\quad e_2\cdot v=A_2 v $$

причем $A_1e_3=e_3$, $A_2e_3=e_3$

paha в сообщении #375998 писал(а):
здесь $A_i$ -- линейные операторы (дистрибутивность)

сможете продолжить?

-- Вт ноя 16, 2010 18:48:07 --

я помогу (сам не знаю сколько -- но мы вместе справимся!)

[Scholium]

Руст писал(а):

И так ясно, что без дополнительных условий имеется континиум неизоморфных двумерных алгебр.

Почему континуум? Только три. Об этом пишут Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. в «Конечномерных алгебрах», тот же Ричард Пирс в «Ассоциативных алгебрах» и др.

Руст писал(а):

Количество неизоморфных алгебр сократится до конечного если принять ограничение об ассоциативности степеней. Между прочим этому условию удовлетворяют не только альтернативные, но и лиевы и йордановы алгебры. Поэтому предлагаю принять это условие и классифицировать здесь такие двумермерные, трехмерные алгебры. Для четырехмерных дополнительно можно принять условие существования единицы.

Я бы сказал наоборот, из условия тождеств альтернативности, лиевости и йордановости следует свойство «ассоциативности степеней», т.е. это более слабое условие, по сравнению с предыдущими.

У того же Р. Пирса есть теорема:

«Для произвольного поля $F$ и любого натурального числа $n$ кардинальное число классов изоморфизма $n$-мерных $F$-алгебр не превышает $|F|^{n^3}$».

По единице я уже говорил, что любую алгебру без единицы можно пополнить единицей и перейти к рассмотрению уже этой новой алгебры. Так что отказываться от единицы нет большого смысла.

Может быть, неизоморфные алгебры можно «сгруппировать» по однородным параметрам, как, например, алгебры $A=\left ( \frac{a, b}{F} \right )$ обобщенных кватернионов. Тогда можно рассмотреть конечное число классов (бесконечных) параметрических алгебр. Т.е. вопрос конечности, в данном случае не принципиален.

[Xaositect]

Scholium в сообщении #376122 писал(а):

Почему континуум? Только три. Об этом пишут Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. в «Конечномерных алгебрах», тот же Ричард Пирс в «Ассоциативных алгебрах» и др.

Так это же ассоциативные только.

upd.
Извиняюсь, не посмотрел, про что говорим. Двумерных с единицей - три. Двумерных всего - континуум.

[Scholium]

paha писал(а):

но размерность алгебры при этом увеличится

Или «число» алгебр будет больше, при снятии условия на единицу. Можно рассматривать и этот общий случай, но он не на столько интересен, насколько громоздок. Дополнительные условия коммутативности или ассоциативности на структурные единицы, только увеличивают количество рассматриваемых «уравнений», что только усложняет их рассмотрение в пространстве достаточно высокой размерности.

paha писал(а):

Итак: какая классификация Вас интересует?

Подобная, как и для случая с $n=2$. Например, рассмотрим такой фактор, как количество ненулевых структурных констант, соответствующего трехмерного тензора. Пусть каждому классу порядка $m$ от 0 до 12 соответствуют определенные группы (в смысле множества) неизоморфных алгебр с $m$ ненулевыми коэффициентами. Класс алгебр с $m=0$ (все константы нулевые) соответствует только одна неизоморфная алгебра, типа параболических чисел. Для $m=1$ таких неизоморфных алгебр будет не более 24. Ибо ненулевое число можно нормировать до плюс / минус единицы. Еще половина случаев осечется за счет взаимозамены единиц $i$ и $j$. И половина случаев из 6 отсечется за счет замены $i$ или $j$ на противоположные единицы. В итоге, вроде бы, случай $m=1$ содержи 9 классов неизоморфных алгебр. Если число $m$ достаточно большое, то количество независимых констант можно уменьшить на 4 (за счет сдвигов и сжатия двух осей с $i$ и $j$). И т.д. Но зачем открывать Америку, если она уже кем-то открыта ?

paha писал(а):

здесь $A_i$ -- линейные операторы (дистрибутивность)

сможете продолжить?

Все авторы предлагают рассматривать не операторы, а тензора. Смотрите Пирса. Мне не хочется излишне цитировать его выкладки по этому вопросу.

[Руст]

Scholium в сообщении #376122 писал(а):

Руст писал(а):

И так ясно, что без дополнительных условий имеется континиум неизоморфных двумерных алгебр.

Почему континуум? Только три. Об этом пишут Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. в «Конечномерных алгебрах», тот же Ричард Пирс в «Ассоциативных алгебрах» и др.

Надеюсь поняли, почему континиум. Переход к другому базису дает действие 4-мерной группы в восмимерном пространстве. Соответственно не изоморфных как минимум 4 (8-4=4) параметрическое множество.
Уже условие ассоциативности степеней делает конечным количество неизоморфных двумерных алгебр.
По сути это и будут те три алгебры- с нулевым умножением, $R+R$ и $C$.

[Scholium]

Xaositect писал(а):

Scholium писал(а):

Структурные теоремы не отвечают на вопрос о существовании и свойствах канонической системы независимых алгебраических единиц. Как правило, все эти независимые единицы со своими свойствами, определяются конструктивно явным образом, без использования этих самых «структурных теорем».

Не понял.

Другими словами, «структурные теоремы» слишком грубые для конструктивного построения классов неизоморфных алгебр. Вот, рассматриваемый нами случай при $n=2$, с единицей, дает следующие три класса неизоморфных алгебр, канонические представители которых есть:

$\mathbb{C} = \mathbb{R} + i \mathbb{R}$, где $i^2 = -1$;
$\mathbb{H}_2 = \mathbb{R} + j \mathbb{R} \simeq \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$, где $j^2 = 1$;
$\mathbb{P}_2 = \mathbb{R} + \epsilon \mathbb{R}$, где $\epsilon^2 = 0$.

Здесь знак суммы + понимается как в смысле суммирования всех элементов множеств, так и в смысле прямой суммы (или прямого произведения) этих множеств. В данном случае, все определения будут эквивалентными.

Структурные теоремы вполне предсказывают существование таких классов, но они не способны ответить на вопрос, каким соотношениям должны подчиняться канонические независимые единицы (в данном, двухмерном случае - $\,i, j, \epsilon$).

Xaositect писал(а):

Видимо да. Я когда литературу искал, тоже отсеивал кучу статей по алгебрам Ли. А по общей теории неассоциативных алгебр вообще кроме оригинальных статей Алберта и книги "An introduction to nonassociative algebras" ничего нет.

Для меня и эти ссылки интересны .

Xaositect писал(а):

Кстати, раз уж зашел разговор об алгебрах. Никому не попадались какие-нибудь результаты о неассоциативных алгебрах $A$, у которых идеал $A^2$ ассоциативен? Без предположения каких-то хороших свойств, потому что алгебры, которые у нас получаются, как правило не power-associative даже.

Вероятно, такие исследования вообще не лежат на поверхности и тут можно смело «переоткрывать Америку» (иной раз легче переоткрыть, чем найти ). Если уж такая «классическая» задача, как классификация алгебр с единицей в $\mathbb{R}^3$ не известна широкому кругу математиков, то Ваша задача и подавно. Я вчера поднял учебник по «Современной геометрии» и быстро нашел там классификацию алгебр Ли для трехмерного случая. По-моему, всего девять неизоморфных классов. Метод классификации они используют простой – перебор всех возможных неизоморфных структурных коэффициентов, с учетом тождеств Ли. Естественно, что ни о каких структурных теоремах там речь не идет . Поэтому, в Вашем случае я бы просто искал бы методы решения смежных задач и пытался бы применить их в данном случае. Сейчас упор делается на теорию инвариантов и алгебраическую геометрию в исследовании подобных задач.

[Scholium]

Руст писал(а):

Scholium писал(а):

Руст писал(а):

И так ясно, что без дополнительных условий имеется континиум неизоморфных двумерных алгебр.

Почему континуум? Только три. Об этом пишут Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. в «Конечномерных алгебрах», тот же Ричард Пирс в «Ассоциативных алгебрах» и др.

Надеюсь поняли, почему континиум. Переход к другому базису дает действие 4-мерной группы в восмимерном пространстве. Соответственно не изоморфных как минимум 4 (8-4=4) параметрическое множество.

Похоже, Вы не используете предлагаемое условие существования единицы. Без единицы количество структурных единиц тензора равно 8, а с единицей только 2. Но даже двойка дает бесконечное число представителей алгебр, однако это бесконечное число разбивается на три «области изоморфности», разделяемых параболой, о которой уже шла речь. Я не против рассмотреть и 8-мерный случай для структурных коэффициентов. Исходя из Ваших рассуждений, это 8-мерное пространство параметров даст его бесконечное «расслоение» на области изоморфности. Хотелось бы увидеть доказательство этого факта или ссылку на него. Пока, для меня, это абсолютно неочевидно.

Руст писал(а):

Уже условие ассоциативности степеней делает конечным количество неизоморфных двумерных алгебр.

Может быть, Вы правы, я не проверял. Но для двухмерного случая «конечным количество неизоморфных двумерных алгебр» делает не только «условие ассоциативности», но и условие существования единицы, без ограничения на ассоциативность. Это легко проверяется для $n=2$ непосредственно. Для произвольного $n$ условия на структурные алгебраические константы для ассоциативности и существования единицы выписаны у Пирса, из них также следует, что для произвольной алгебры в $\mathbb{R}^2$, с единицей (без условия на ассоциативность) имеем только одно соотношение

$i^2 = p + q i$,

о котором уже шла речь выше.

Руст писал(а):

По сути это и будут те три алгебры- с нулевым умножением, $R+R$ и $C$.

Согласен.

[Xaositect]

Scholium в сообщении #376303 писал(а):

Вероятно, такие исследования вообще не лежат на поверхности и тут можно смело «переоткрывать Америку» (иной раз легче переоткрыть, чем найти ). Если уж такая «классическая» задача, как классификация алгебр с единицей в не известна широкому кругу математиков, то Ваша задача и подавно. Я вчера поднял учебник по «Современной геометрии» и быстро нашел там классификацию алгебр Ли для трехмерного случая. По-моему, всего девять неизоморфных классов. Метод классификации они используют простой – перебор всех возможных неизоморфных структурных коэффициентов, с учетом тождеств Ли. Естественно, что ни о каких структурных теоремах там речь не идет . Поэтому, в Вашем случае я бы просто искал бы методы решения смежных задач и пытался бы применить их в данном случае. Сейчас упор делается на теорию инвариантов и алгебраическую геометрию в исследовании подобных задач.

В моем случае есть ограничения как раз на структурные константы в одном из базисов, я хочу наоборот какие-то алгебраические свойства смотреть. Но пока смотреть эти алгебры, которые на самом деле алгоритмы/тензорные разложения с одним хорошим свойством, в отрыве от многообразия всех алгоритмов не получается.

[Scholium]

Xaositect писал(а):

В моем случае есть ограничения как раз на структурные константы в одном из базисов, я хочу наоборот какие-то алгебраические свойства смотреть. Но пока смотреть эти алгебры, которые на самом деле алгоритмы/тензорные разложения с одним хорошим свойством, в отрыве от многообразия всех алгоритмов не получается.

Ну, так у Вас похожая задача. Есть система «уравнений» для структурных констант. Алгебраическая геометрия дает общий метод (правда непрактичный) для этих констант с любыми дополнительными условиями на них. Классы изоморфизма $n$ мерных $F$-алгебр находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами действия некой аффинной группы на некое подмногообразие (возможно приводимое) в $A^{n^3}(F)$ (Р. Пирс). Дело за «малым». Перевести эти и подобные рассуждения Пирса в конструктивный вид .

[Xaositect]

Вот как раз классы изоморфизма мне вряд ли помогут, потому что тогда легче рассматривать орбиты более сильной группы на многообразии всех билинейных алгоритмов, некоторые частные случаи которых как раз соотносятся с вложениями ассоциативных алгебр в неассоциативные с малым числом ненулевых базисных произведений. Моя идея была в том, что, возможно, алгебраические свойства позволят как раз "перестраивать" алгебры и переходить между орбитами. Или просто доказывать существование хороших.
К тому же то, что планируется исследовать, происходит в размерности около 20. Там классификацией не позанимаешься, там алгебра нужна.

[Scholium]

Xaositect писал(а):

К тому же то, что планируется исследовать, происходит в размерности около 20. Там классификацией не позанимаешься, там алгебра нужна.

Согласен. Но без общих наводящих теорем трудно рассчитывать на успех. Не заниматься же случайным компьютерным перебором ? По-видимому, придется искать эти теоремы, ибо «малой кровью» эти задачи не решаются, что, в общем-то, и требовалось доказать .

[Xaositect]

Scholium в сообщении #376303 писал(а):

Структурные теоремы вполне предсказывают существование таких классов, но они не способны ответить на вопрос, каким соотношениям должны подчиняться канонические независимые единицы (в данном, двухмерном случае - $i$, $j$, $\epsilon$).

Ну да, в двумерном случае придется много заклинаний произносить, чтобы это получить. Но сделать это можно.

[paha]

если уж лень руками считать..

мысль пришла как общаться с неассоциативными алгебрами: искать в них идеал $I$, порожденный ассоциаторами, т.е. элементами вида $(a,b,c)=(ab)c-a(bc)$. Фактор по этому идеалу ассоциативен, а сам идеал автоматически двусторонний из-за соотношения $a(b,c,d)=(a,b,c)d\,{\rm mod}\,I$

-- Ср ноя 17, 2010 14:36:51 --

Scholium в сообщении #376303 писал(а):

Другими словами, «структурные теоремы» слишком грубые для конструктивного построения классов неизоморфных алгебр.

ну, это Вы сгоряча... будет время -- напишу как из структурных теорем для ассоциативных алгебр всё получается при $n=2,3$

Scholium в сообщении #376303 писал(а):

(в данном, двухмерном случае - $\,i, j, \epsilon$).

все-таки $j,\epsilon$ с натяжкой можно назвать "единицами"... Это просто некоторые "канонические" векторы, дополняющие настоящую единицу до базиса в $\mathbb{R}^2$

[Scholium]

Xaositect писал(а):

Ну да, в двумерном случае придется много заклинаний произносить, чтобы это получить. Но сделать это можно.

В том-то и дело, что много. Это лишний раз показывает, что структурные теоремы, это не классификационные теоремы. Т.е., надо упор делать на вторые, а не на первые.