Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?

[Scholium]

Известна ли полная классификация алгебр над $\mathbb{R}$ для размерностей $n=3,4,5, . . .$?

В алгебраической литературе легко найти одно- и двухмерную классификацию алгебр на полем, характеристики не равной двум. Но если задаться вопросом, а как обстоят дела хотя бы с трехмерными алгебрами, допустим, над $\mathbb{R}$, то найти конкретную классификацию мне не удалось. Не известно даже, а сколько таких неизоморфных алгебр, не обязательно ассоциативных или коммутативных, но с единицей, существует?

Общее решение как бы существует и связано с привлечением алгебраической геометрии, но сами авторы (например, Пирс. «Ассоциативные алгебры») пишут, что для больших $n$ это решение бесполезно. А для малых? Скажем $n=3$?

Единственное, что удалось откопать (кстати, здесь на форуме), это классификация Guerino Mazzolo 59-ти пятимерных ассоциативных алгебр («The Algebraic and Geometric Classification of Associative Algebras of Dimension Five». 1979).

Может быть, кто-то знает другие аналогичные работы или результаты?

[paha]

ну, без ассоциативности можно загрустить...

хотя формально, без ограничений, алгебра над $\mathbb{K}$ -- это $(2,1)$-тензор

$$ e_i\cdot e_j=c_{ij}^ke_k $$

сколько тензоров, столько и алгебр

Вот если доп. требования есть: лиевость, иордановость, коммутативность, ассоциативность, то начинают действовать дополнительные теоремы

тут все надо делать руками (в малых размерностях)... в ассоциативном случае -- учить структурные теоремы (радикалы, полупростые алгебры)

я, помню, мы с физиками за 1 час нашли все ассоциативные алгебры над $\mathbb{R}$ размерности $n\le 3$

[Scholium]

paha писал(а):

ну, без ассоциативности можно загрустить...

Наоборот, мне лично кажется, что ассоциативность это вещь хорошая, но совершенно лишняя в вопросах классификации.

paha писал(а):

хотя формально, без ограничений, алгебра над $\mathbb{K}$ -- это $(2,1)$-тензор
$e_i\cdot e_j=c_{ij}^ke_k$ сколько тензоров, столько и алгебр

Рассмотрим, например, размерность$n=2$. С учетом требования существования единицы мы имеем $S_n$ - число алгебраических структурных констант равное $S_n=(n-1)^2 n$. При $n=2$ $S_2=2$, а при $n=3$ $S_3=12$. Так вот, для двухмерного случая две (вещественные) алгебраические константы $p$ и $q$ для мнимой единицы $i^2=p + q i$ дают три неизоморфные алгебры: поле $\mathbb{C}$, алгебру гиперболических или двойных чисел $\mathbb{H}_2$ изоморфных алгебре прямой суммы $\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$ и алгебру параболических или дуальных чисел $\mathbb{P}_2 = \mathbb{R} \oplus \epsilon \mathbb{R}$, где $\epsilon$ - независимая единица такая, что $\epsilon^2=0$. Если мы рассмотрим в плоскости структурных констант $(p, q) \in \mathbb{R}^2$, «области изоморфности», то легко видеть, что все три алгебры определяются границей уравнения

$p+\frac{q^2}{4}=0$.

Сама парабола содержит параболические числа, ее внутренность – эллиптические (или комплексные), а внешность – гиперболические числа. Выбирая в этих областях простейшие значения точек для пар $(p, q) \in \mathbb{R}^2$, получим канонические выражения для $i^2 \in \{-1, 0, 1\}$. Вот как работает «алгебраическая геометрия». Так что количество тензоров не определяет количество неизоморфных алгебр.

paha писал(а):

Вот если доп. требования есть: лиевость, иордановость, коммутативность, ассоциативность, то начинают действовать дополнительные теоремы

Дополнительные условия уменьшают общее (конечное) количество неизоморфных алгебр. Только и всего.

paha писал(а):

тут все надо делать руками (в малых размерностях)... в ассоциативном случае -- учить структурные теоремы (радикалы, полупростые алгебры)

Структурные теоремы это как философские законы. Вроде правильные, но часто бесполезные для конкретного описания всех неизоморфных алгебр. То же вычисление для $n=2$ не опирается на структурные теоремы, а вычисляется непосредственно.

paha писал(а):

я, помню, мы с физиками за 1 час нашли все ассоциативные алгебры над $\mathbb{R}$ размерности $n\le 3$

Ну и сколько их было?

P.S. Странно, что алгебраисты с азартом вычисляли формулы для решения алгебраических уравнений 2-го, 3-го и 4-го порядка, а потом долго бились над поиском решения в радикалах уравнения 5-го порядка. Но подобная задача для классификации алгебр, вроде как никем и не ставилась.

[paha]

Scholium в сообщении #375972 писал(а):

С учетом требования существования единицы

это посильнее фауста гете (передразниваю ИСН)!

Вы нигде не обмолвились, что алгебры -- с единицей:))

Scholium в сообщении #375972 писал(а):

Дополнительные условия уменьшают общее (конечное) количество неизоморфных алгебр

ведь в алгебрах Ли нет йединиц

[Xaositect]

Scholium в сообщении #375972 писал(а):

paha писал(а):

Вот если доп. требования есть: лиевость, иордановость, коммутативность, ассоциативность, то начинают действовать дополнительные теоремы

Дополнительные условия уменьшают общее (конечное) количество неизоморфных алгебр. Только и всего.

Дополнительные условия позволяют доказывать структурные теоремы.

Цитата:

paha писал(а):

тут все надо делать руками (в малых размерностях)... в ассоциативном случае -- учить структурные теоремы (радикалы, полупростые алгебры)

Структурные теоремы это как философские законы. Вроде правильные, но часто бесполезные для конкретного описания всех неизоморфных алгебр. То же вычисление для $n=2$ не опирается на структурные теоремы, а вычисляется непосредственно.

Ну, для $n=2$ оно, может, и сравнимо по сложности. А вот при $n=3$ классификация, скажем, ассоциативных алгебр при помощи структурных теорем будет ИМХО попроще. Без ассоциативности, конечно, сложнее и придется общие соображения использовать.

[paha]

Scholium
ну... давайте прямо тут классифицируем ВСЕ (без доп. ограничений) двумерные алгебры над $\mathbb{R}$

я начну: пусть $e_1,e_2$ -- базис нашего подлежащего пространства

$$ e_1\cdot v=A_1 v,\quad e_2\cdot v=A_2 v $$

здесь $A_i$ -- линейные операторы (дистрибутивность)

сможете продолжить?

-- Вт ноя 16, 2010 17:06:37 --

Xaositect в сообщении #375996 писал(а):

А вот при $n=3$ классификация, скажем, ассоциативных алгебр при помощи структурных теорем будет ИМХО попроще.

не ИМХО, а несравненно проще (проверено на практике)

[Руст]

И так ясно, что без дополнительных условий имеется континиум неизоморфных двумерных алгебр.
Количество неизоморфных алгебр сократится до конечного если принять ограничение об ассоциативности степеней. Между прочим этому условию удовлетворяют не только альтернативные, но и лиевы и йордановы алгебры. Поэтому предлагаю принять это условие и классифицировать здесь такие двумермерные, трехмерные алгебры. Для четырехмерных дополнительно можно принять условие существования единицы.

[paha]

Руст в сообщении #376015 писал(а):

И так ясно, что без дополнительных условий имеется континиум неизоморфных двумерных алгебр.

но никто нам не мешает этот континуум "обозреть" -- я ведь к тому и начал

-- Вт ноя 16, 2010 17:41:42 --

Руст в сообщении #376015 писал(а):

не только альтернативные, но и лиевы и йордановы алгебры

лень в гугл лезть... очепятка?

[Xaositect]

paha в сообщении #376026 писал(а):

лень в гугл лезть... очепятка?

Альтернативные? $x^2y = x(xy)$ и $xy^2 = (xy)y$.

[paha]

я прочел это

Руст в сообщении #376015 писал(а):

не только альтернативные, но и лиевы

так, что альтернативные -- частный случай лиевых... типа "не только французы, но и все европейцы"

[Scholium]

paha писал(а):

Scholium писал(а):

С учетом требования существования единицы

это посильнее фауста гете (передразниваю ИСН)!

Вы нигде не обмолвились, что алгебры -- с единицей:))

Нет, это очевидно. Но для строгости откроем Р. Пирса, «Ассоциативные алгебры». Мир. 1986 (с. 23) и читаем:

«Каждая $n$-мерная $F$-алгебра $A$ может быть определена (с точностью до изоморфизма) заданием соответствующих структурных констант $a_{ij}^k$. С другой стороны, произвольный выбор структурных констант не всегда обеспечивает ассоциативность умножения и существование единицы (выделение Scholium). Кроме того, разные наборы структурных констант могут приводить к изоморфным алгебрам.»

Поскольку мы включаем в наши структурные константы условие существования единицы, то тем самым уменьшаем количество этих констант с $n^3$ до $(n-1)^2 n$. Надеюсь выписывать эти уравнения нет необходимости?

paha писал(а):

Scholium писал(а):

Дополнительные условия уменьшают общее (конечное) количество неизоморфных алгебр

ведь в алгебрах Ли нет йединиц

Мы можем в условии классификации конечномерных алгебр над полем отказаться от требования существования единицы. Естественно, количество неизоморфных алгебр увеличится. Только это не очень интересно. Во-первых, увеличивается число структурных констант (в трехмерном случае с 12 до 27), что не есть хорошо, а во-вторых, в этом нет особой необходимости, так как, существует теорема, что любую алгебру всегда можно пополнить единицей и рассматривать уже эту алгебру с единицей.

[paha]

Scholium в сообщении #376059 писал(а):

существует теорема, что любую алгебру всегда можно пополнить единицей и рассматривать уже эту алгебру с единицей.

но размерность алгебры при этом увеличится

Итак: какая классификация Вас интересует?

-- Вт ноя 16, 2010 18:16:22 --

Scholium в сообщении #375923 писал(а):

не обязательно ассоциативных или коммутативных, но с единицей

да?

-- Вт ноя 16, 2010 18:19:29 --

если "да", то начнем... Выберем базис, в котором $e_3$ -- единица

тогда

paha в сообщении #375998 писал(а):

$$ e_1\cdot v=A_1 v,\quad e_2\cdot v=A_2 v $$

причем $A_1e_3=e_3$, $A_2e_3=e_3$

paha в сообщении #375998 писал(а):

здесь $A_i$ -- линейные операторы (дистрибутивность)

сможете продолжить?

[Scholium]

Xaositect писал(а):

Scholium писал(а):

Дополнительные условия уменьшают общее (конечное) количество неизоморфных алгебр. Только и всего.

Дополнительные условия позволяют доказывать структурные теоремы.

Структурные теоремы не отвечают на вопрос о существовании и свойствах канонической системы независимых алгебраических единиц. Как правило, все эти независимые единицы со своими свойствами, определяются конструктивно явным образом, без использования этих самых «структурных теорем».

Xaositect писал(а):

Ну, для $n=2$ оно, может, и сравнимо по сложности. А вот при $n=3$ классификация, скажем, ассоциативных алгебр при помощи структурных теорем будет ИМХО попроще. Без ассоциативности, конечно, сложнее и придется общие соображения использовать.

Я ведь и задал вопрос о существовании исследований по классификации конечномерных алгебр над $\mathbb{R}$ при $n>2$. Удивительно, но просмотрев кучу литературы по алгебре, я сталкивался постоянно только с существованием классификации алгебр Ли. На них свет клином сошелся, что ли ?

[Xaositect]

Scholium в сообщении #376073 писал(а):

Xaositect писал(а):

Scholium писал(а):

Дополнительные условия уменьшают общее (конечное) количество неизоморфных алгебр. Только и всего.

Дополнительные условия позволяют доказывать структурные теоремы.

Структурные теоремы не отвечают на вопрос о существовании и свойствах канонической системы независимых алгебраических единиц. Как правило, все эти независимые единицы со своими свойствами, определяются конструктивно явным образом, без использования этих самых «структурных теорем».

Не понял.

Цитата:

Xaositect писал(а):

Ну, для $n=2$ оно, может, и сравнимо по сложности. А вот при $n=3$ классификация, скажем, ассоциативных алгебр при помощи структурных теорем будет ИМХО попроще. Без ассоциативности, конечно, сложнее и придется общие соображения использовать.

Я ведь и задал вопрос о существовании исследований по классификации конечномерных алгебр над $\mathbb{R}$ при $n>2$. Удивительно, но просмотрев кучу литературы по алгебре, я сталкивался постоянно только с существованием классификации алгебр Ли. На них свет клином сошелся, что ли ?

Видимо да. Я когда литературу искал, тоже отсеивал кучу статей по алгебрам Ли. А по общей теории неассоциативных алгебр вообще кроме оригинальных статей Алберта и книги "An introduction to nonassociative algebras" ничего нет.

Кстати, раз уж зашел разговор об алгебрах. Никому не попадались какие-нибудь результаты о неассоциативных алгебрах $A$, у которых идеал $A^2$ ассоциативен? Без предположения каких-то хороших свойств, потому что алгебры, которые у нас получаются, как правило не power-associative даже.

[paha]

Scholium
так будем классифицировать?