Доказать сепарабельность замкнутого линеала

[Nival]

Не могу понять как аналитически показать то, о чём глаголил MetaMorphy.

Х - Сепарабельное Гильбертово пространство, т.е. у него есть счётное всюду плотное множество А или, что то же самое, любой элемент х из Х можно сколь угодно близко приблизить элементами из А. Проекция множества А на подпространство L - некая часть подпространства L, назовём её "кусок".
То что это множество существует - интуитивно понятно, но как это доказать аналитически? Я понимаю, что для вас это тривиально, но видимо я не понимаю аналитической подоплёки данной задачи. То же самое про сепарабельность этого "куска" L. Берём любой y из L. Надо показать, что его можно приблизить элементами из того самого "куска".То есть, нужно показать что норма разности y и $x_n$ стремится к нулю.
$x_n$ из "куска".
$||y-x_n|| = ||y-(y_n-z)||$ где $y_n=x_n+z$- это элемент счётного, всюду плотного множества пространства Х , а $x_n$ - проекция на L, z - ортогональная составляющая
$||y-(y_n-z)||<=||y-y_n||+||z||$
А как быть дальше? Или нормы вообще не нужны?

[Someone]

Направление правильное. Но делаете не совсем хорошо.
У нас задано всюду плотное подмножество $A\subseteq X$. Проекцию этого множества на $L$ обозначим $B$. Вам нужно доказать, что $B$ всюду плотно в $L$.
Берём произвольную точку $y_0\in L$. Задаём произвольное $\varepsilon>0$. Нужно найти такое $y\in B$, что $\|y-y_0\|<\varepsilon$. Если мы это сделаем, то докажем, что $B$ всюду плотно в $L$.
Начните с выбора $x\in A$. Представьте его в виде $x=y+z$, где $y\in B\subseteq L$, а $z\in L^{\perp}$. Используя определение нормы в гильбертовом пространстве, выразите $\|x-y_0\|$ через $\|y-y_0\|$ и $\|z\|$. Оцените $\|y-y_0\|$ через $\|x-y_0\|$. После этого станет ясно, как нужно выбрать $x$.

P.S. Знаки неравенств: $<,\le,\leq,\leqslant,>,\ge,\geq,\geqslant$. Знак "две вертикальные палочки": $\|$.

$<,\le,\leq,\leqslant,>,\ge,\geq,\geqslant$   $\|$

[ewert]

Someone в сообщении #375249 писал(а):

А что Вы будете делать в том случае, когда это множество пусто?

Да, я малость погорячился, но это легко исправить (а Вы вот как-то так и недооттоположились).

Итак, пусть $\{a_n\}$ -- счётная всюду плотная последовательность. Пусть $r_n$ -- расстояние от $a_n$ до $L$, т.е. инфимум расстояний от $a_n$ до элементов $L$. Выберем для каждого $a_n$ последовательность элементов $L$, расстояние от которых до $a_n$ стремится к $r_n$. Совокупность элементов всех этих последовательностей обозначим $\{b_k\}$ (повторяющиеся элементы, если они есть, удаляем).

Это множество всюду плотно в $L$. Действительно, для каждого $z\in L$ и $\varepsilon>0$ можно выбрать $a_n$, расстояние от которого до $z$ меньше ${\varepsilon\over3}$; тогда тем более $r_n<{\varepsilon\over3}$. Для этого $a_n$ выбираем $b_k$, удалённое от $a_n$ не более чем на $r_n+{\varepsilon\over3}$ и, следовательно, не более чем на ${2\varepsilon\over3}$. Тогда расстояние от $b_k$ до $z$ не превышает $\varepsilon$, вот и всё.

Nival в сообщении #375274 писал(а):

$||y-x_n|| = ||y-(y_n-z)||$ где $y_n=x_n+z$- это элемент счётного, всюду плотного множества пространства Х , а $x_n$ - проекция на L, z - ортогональная составляющая

Всё правильно, просто выбран неудачный вариант выражения под знаком нормы. Надо так: $\|y-y_n\|^2=\|y-(x_n+z_n)\|^2=\|y-x_n\|^2+\|z_n\|^2\geqslant\|y-x_n\|^2$, поэтому из $y_n\to y$ следует $x_n\to y$.
(Ну и для приличия хорошо бы поменять ролями обозначения $x_n$ и $y_n$.)