Оставим в исходном плотном множестве только те элементы, расстояние от которых до подпространства равно нулю. Для каждого из них выберем последовательность сходящихся к нему элементов подпространства.
А что Вы будете делать в том случае, когда это множество пусто? Например, на координатной плоскости

множество точек, у которых обе координаты рациональны, всюду плотно. Прямая, задаваемая уравнением

, не содержит ни одной точки, у которой обе координаты рациональны.
На самом деле это делается иначе. Я приведу другую конструкцию, которая реализует стандартное в топологии рассуждение
Padawanа, не упоминая таких "страшных" понятий, как база и вес топологического пространства. Эта конструкция существенно не отличается от конструкции
moscwicz (но моё изложение несколько более подробное).
Пусть

- сепарабельное метрическое пространство с метрикой

,

- его подпространство,

- счётное всюду плотное подмножество

. Будем обозначать

открытый шар радиуса

с центром в точке

и, аналогично,

, но здесь

.
Построение. Для каждой точки

и каждого натурального

рассмотрим множество

. Если это множество не пусто, то выберем какую-нибудь точку

. Совокупность всех выбранных точек обозначим

. Очевидно,

- счётное подмножество пространства

. Осталось доказать, что оно всюду плотно в

.
Доказательство. Пусть

- любое непустое открытое подмножество пространства

. Возьмём любую точку

. Так как

открыто, существует такое

, что

. Возьмём любое натуральное

. Так как

всюду плотно в

, найдётся точка

. Так как множество

содержит точку

, то есть, не пусто, то при построении была выбрана точка

. Имеем

поэтому

, то есть,

, поэтому

всюду плотно в

.
В нашем курсе функционального анализа не было понятия ортопроектора. Проекция вектора x на линеал L определялась как представимость х в виде суммы y + z, где z - элемент ортогонального дополнения, а у - наша проекция х на линеал.
Этого достаточно. Применяете это построение к элементам заданного всюду плотного множества, как
советовал MetaMorphy, и получаете всюду плотное подмножество в подпространстве.