Непрерывность: если A замкнуто, то f(A) тоже замкнуто

[Ulya]

Здравствуйте.Подскажите как решить задачу:
Пусть $f(x)$-непрерывна на $[a,b]$.Доказать,что если $A \subset [a,b]$-замкнуто,то
замкнуто и множество $f(A) = \left\{ {y = f(x),x \in A} \right\}$.

[Юстас]

Непрерывная на компакте функция принимает на нём максимальное и минимальное значение(теорема Вейерштрасса). По теореме о промежуточном значении функция принимает и все значения между минимумом и максимумом.

[Ulya]

Юстас ну и что из этого.А где использовано,что А замкнуто,да и откуда следует,что f(A)-компакт.

[wadzim]

Пусть $ y_n \in F(A) $ - сходящаяся последовательность. Покажем,что $ y=\lim\limits_{n \to \infty}y_n \in F(A) $. В самом деле, для любого $y_n$ существует $x_n \in A$, такой что $y_n = f(x_n)$. Отсюда в силу непрерывности функции $f$, следует $ y = \lim\limits_{n \to \infty}y_n = \lim\limits_{n \to \infty}f(x_n) = f(\lim\limits_{n \to \infty}x_n) = f(x) $, где $ x = \lim\limits_{n \to \infty}x_n \in A $ в силу замкнутости множества $A$. Отсюда следует $y \in f(A)$.

[tolstopuz]

Юстас писал(а):

Непрерывная на компакте функция принимает на нём максимальное и минимальное значение(теорема Вейерштрасса). По теореме о промежуточном значении функция принимает и все значения между минимумом и максимумом.

$A$ не обязано быть связным. Но можно так:

$A$ компактно как замкнутое подмножество компактного множества $[a, b]$. Значит, $f(A)$ тоже компактно, а, следовательно, замкнуто.

[wadzim]

Забыл написать выше, что $A$ - компакт, т.к. оно замкнуто и ограничено.
Вообще говоря нельзя сразу сказать, что существует предел последовательности $x_n$. Но можно сказать, что у последовательности $x_n$ существует
сходящаяся подпоследовательность $x_n__k$. А потом уже $ y = \lim\limits_{k \to \infty} f( x_n__k ) $.

[Юстас]

Ulya, Вы же просили подсказать, вот я и подсказал. Дальше можно и самостоятельно доделать..

[Ulya]

Пусть $y_n \in F(A)$-сходящаяся последовательность.А если в F(A) взять последовательность,которая не сходится!
y=f(x) - а разве отсюда следует,что $y \in F(A)$

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

Пусть $y_n \in F(A)$-сходящаяся последовательность.А если в F(A) взять последовательность,которая не сходится!
y=f(x) - а разве отсюда следует,что $y \in F(A)$

Вместо таких странных вопросов Вам лучше самой сформулировать, что, по Вашему, означает замкнутость множества f(A), и написать об этом здесь, тогда будет легче Вам помочь.

[Ulya]

А..все уловила мысль.y-это передельная точка для мн-ва F(A).А по определению F(A) ограничено,когда оно содержит все свои предельные точки!
А можно еще такой вопрос:будет ли непрерывным отображение: $f:l_\infty \to l_1 $,где $f(x) = \left( {x_1 ,\frac{{x_2 }}{2},\frac{{x_3 }}{3}, \ldots } \right)$
Я рассуждала так.Проверим определение для непрерывности $f(x)$.Пусть $X,r_1$ и $Y,r_2$-2 метрических пространства.
Функция $f:X \to Y$ непрерывна,если $\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta = \delta (\varepsilon ) > 0:\forall x, y :r_1 (x ,y ) < \delta \Rightarrow r_2 (f(x ),f(y )) < \varepsilon $.
Получаем,что $r_1 (x,y) = \mathop {\sup }\limits_i \left| {x_i - y_i } \right|$,а

$$ r_2 (f(x),f(y)) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{{x_i }}{i} - \frac{{y_i }}{i}} \right|} = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} \cdot \left| {x_i - y_i } \right| < \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} \cdot \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {x_i - y_i } \right|} < \mathop {\sup }\limits_i \left| {x_i - y_i } \right| \cdot \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} < \delta \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} < \infty $$

Значит,отображение не непрерывно.Так?

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

...А по определению F(A) ограничено,когда оно содержит все свои предельные точки!..

Это - неверно.

Цитата:

Пусть $X,r_1$ и $Y,r_2$-2 метрических пространства.
Функция $f:X \to Y$ непрерывна,если $\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta = \delta (\varepsilon ) > 0:\forall x, y :r_1 (x ,y ) < \delta \Rightarrow r_2 (f(x ),f(y )) < \varepsilon $.

Это - определение равномерной непрерывности, а не непрерывности.

Цитата:

$$r_2 (f(x),f(y)) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{{x_i }}{i} - \frac{{y_i }}{i}} \right|} = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} \cdot \left| {x_i - y_i } \right| < \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} \cdot \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {x_i - y_i } \right|} < \mathop {\sup }\limits_i \left| {x_i - y_i } \right| \cdot \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} < \delta \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} < \infty $$

Это тоже неверно, поскольку \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} = \infty $$ - гармонический ряд расходится.

[Ulya]

Цитата:

...А по определению F(A) ограничено,когда оно содержит все свои предельные точки!..

Sorry!По определению F(A) замкнуто,когда оно содержит все свои предельные точки!..

Цитата:

Это - определение равномерной непрерывности, а не непрерывности.

А нам в Институте такое определение давали .Как же правильно?

Цитата:

Это тоже неверно, поскольку ...

Извините.Я перепутала.Надо было написать $ = \infty $

[RIP]

Ulya писал(а):

А можно еще такой вопрос:будет ли непрерывным отображение: $f:l_\infty \to l_1 $,где $f(x) = \left( {x_1 ,\frac{{x_2 }}{2},\frac{{x_3 }}{3}, \ldots } \right)$

Оно не будет непрерывным ни в какой точке, поскольку в любой окрестности любой точки най дутся точки, где f не определено. Подумайте, почему. Подсказка: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1n=\infty$. Т.е. я хочу сказать, что на самом деле образ $f(l_{\infty})$ не содержится в $l_1$, отбражение задано некорректно.
Преподаватели очень любят подсовывать такие примеры студентам(и правильно делают!)

[Sasha2]

А не подойдет ли тут такое утверждение:
Образом компакта при непрерывном отображении является компакт. (См., например Зорич, том 2)

[Ulya]

RIP а как я доказывала:так нельзя чтоли?