Есть функция
![$f:[a;b]\rightarrow R$ $f:[a;b]\rightarrow R$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/3/6c35d2eee26475fcccd73c7523d390f882.png)
- непрерывная функция. Предположим, что для любой дифференцируемой
![$g:[a;b]\rightarrow R $ $g:[a;b]\rightarrow R $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/b/59b13e2b4aff250dad78cadac1c74daf82.png)
такой, что
![$ g(a)=g(b)$ $ g(a)=g(b)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/4/06471d6f160416724e7667d4d6afa0c182.png)
выполняется:
![$$\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}=0. $$ $$\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}=0. $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/c/67cae91ecc39f2c1494f600bdb90de0c82.png)
Что вы можете сказать о
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
?
Вопрос как видите открытый. Из тривиального - подходит константа. Мне кажется, что условию могут удовлетворять
![$f(): f(a)=f(b)$ $f(): f(a)=f(b)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/2/842dc73b9e10c6dfff355d739b76846482.png)
, но я не уверен в правильности этого заключения.
+ можно использовать формулу о дифференцирование произведения, откуда получим:
![$$\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}=(f(b)-f(a))g(b)=(f(b)-f(a))g(a). $$ $$\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}=(f(b)-f(a))g(b)=(f(b)-f(a))g(a). $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/a/f5ab36e90d39e9e25ee596613e466a7a82.png)
Но толку от этого маловато как по мне. Также просматривал теоремы о среднем для интеграла композиции функций - ничего из просмотренного не подошло(там накладываются условия на монотонность, чего мы тут не можем заключать).
Буду признателен за свежие идеи.
Вопрос 2.
Исследовать на сходимость ряд:
![$$\sum{\sin(\frac{2\pi}{e}n!})$$ $$\sum{\sin(\frac{2\pi}{e}n!})$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/1/731989b88922350ed3060c9aa09f8d3782.png)