Математические трюки и уловки

[caxap]

Есть ли у вас в запасе какие-нибудь трюки, которыми вы часто пользуетесь и которые не раз выручали?

Ну про анализ размерностей и применение соображений симметрии все слышали, но наверняка есть ещё масса других уловок. Например, на этом форуме как-то прочитал простой способ восстановления аналитической функции по действительной или мнимой части через подстановку в неё $x=z/2$, $y=z/2i$. Получается очень быстро, но нигде больше о таком методе не слышал. Ещё очень полезна бывает теорема Штольца, которую часто упоминают вскольз, хотя метод достаточно мощный (это фактически "дискретное" правило Лопиталя).

Вспомнилось ещё, как Фейнман в книге "Вы, конечно, шутите..." писал о том, как его выручало правило дифференцирования под знаком интеграла

(Отрывок)

Цитата:

когда ребята в МТИ или в Принстоне мучались с каким-нибудь интегралом, это происходило потому, что они не могли взять его с помощью стандартных методов, которые узнали в школе. Они могли лишь взять интеграл по контуру или найти разложение в простой ряд. Потом приходил я и пытался продифференцировать это выражение под знаком интеграла; часто мне это удавалось. Вот так я завоевал репутацию человека, умеющего брать сложные интегралы, только потому, что мой набор инструментов отличался от всех других, а все другие приглашали меня, только перепробовав все свои инструменты.

Давайте поделимся своими тайными инструментами

[caxap]

Ещё вспомнил:
-- теоремы Гульдина (впервые прочитал о них в ФЛФ (там они называются теоремы Паппа), затем в Фихтенгольце). Полезны в обе стороны: и для вычисления положения центра масс, если площадь/объём считаются легко, так и наоборот;
-- проверка равенств с помощью сравнений по $\bmod$ (ведь верное равенство останется таким при любом $\pmod n$; как частный случай -- сравнение чётности).

[Хорхе]

big-list

Трюков настолько много, что таких, чтоб "часто", нет.

Вот примерный список того, что понравилось и чем приходилось воспользоваться более одного раза:
- теорема о трех перпендикулярах (телескопическое свойство условного матожидания)
- необходимое условие сходимости ряда (звучит смешно, конечно, но это мощный трюк в ТВ, когда нужны сходимость почти наверное и ее оценки)
- формула Ньютона-Лейбница (ну и интегрирование по частям - бомба!)
- лемма Гарсия(-Родемиха-Рамси), которая позволяет оценить модуль непрерывности некими интегралами, мощнейшее оружие (по ссылке Теорема 1.4)
- тождество Парсеваля (более общо, функция = ОПФ(ПФ))
- формула Коши-Адамара
- лемма Гронуолла (ну и сюда же можно теорему Брауэра, которой, впрочем, не пользовался, но в тему)
- квантильное преобразование

[e2e4]

Эээ... при решении всяких олимпиадных школьных задач - формулы Виета раньше помогали.

Ну и еще лично я очень люблю теорему синусов. С помощью нее и формул приведения не раз выводил практически все остальные тригонометрические тождества. Сейчас уже ленюсь, выучил в довесок теорему косинусов - часто упрощает жизнь :).

Но я не математик, а инженер - по большому счету из геометрии кроме решения треугольников ничего и не использую, так что не судите строго.

-- Вт ноя 09, 2010 20:53:32 --

Вот еще вспомнил - есть такая малоизвестная школьникам теорема - что-то типа "если функция непрерывна и монотонна на отрезке, то на этом отрезке она может иметь не более одного корня". На выпускном экзамене по математике дополнительная задача досталось найти корни многочлена 4-й степени на отрезке или что-то типа этого. Один корень угадывался легко - благо на экзамене разрешалось пользоваться калькуляторами, у меня был в то время графический - ну и построил график, сделал trace - нашел единственный целочисленный корень. Дальше подметил, что функци все время возрастает на отрезке. Доказал это производной на листочке. Один корень угадан, подстановкой проверено, что он - верный. Далее вышеописанная теорема (я даже название ее тогда помнил :). К сожалению, задачу не защитали. Учительница была самых строгих правил, и не посмела защитать такое нестандартное решение. Но и минус тоже за задачу не поставила. Все остальные задачи - плюсы, против этой - ничего нет :). Отмазалась тем, что сказала - ну ты же 5-ть первых заданий решил - это уже пятерка. Я шестое и проверять не стала. Вот если бы ты пятое не решил, тогда это бы имело значение, так все равно.

Потом я узнал, из параллели вроде бы никто эту 6-ю задачу не решил так, как ее предполагалось решать по методичке.

Вот многое школьное забыл, а этот случай помню очень ярко :).

[caxap]

Я зря в теме написал явно "Математические...". Физические тоже приветствуются. Так, к соображениям симметрии можно прибавить +1 (в сочетании с некоторыми законами типа теоремы Гаусса вообще убойная штука!). Вообще, добрая половина повседневных задачек решаются законами сохранения + симметрией.

Ещё могу вспомнить метод виртуальный работы для расчёта каких-нибудь задачек на статику: нужно чуть-чуть "сдвинуть" систему, после чего применить метод закон сохранения энергии (узнал я об этом методе, кстати, тоже из ФЛФ).

А большинство олимпиадных задачек по математике вида "дано то-то то-то, разрешается делать такие-то преобразования и нужно доказать, что никогда не получим того-то" решаются поиском нужного инварианта, который тем преобразованием не меняется.

[e2e4]

Цитата:

Физические тоже приветствуются.

Закон сохранения энергии - один из самых мощных принципов, так сказать корень многих размышлений, приводящих к верным выводам.

[caxap]

(Хорхе)

Хорхе в сообщении #372883 писал(а):

- лемма Гарсия(-Родемиха-Рамси)
- тождество Парсеваля
- лемма Гронуолла
- квантильное преобразование

А где про это можно почитать? И что такое "телескопическое свойство условного матожидания"?

[Хорхе]

(caxap)

добавил ссылки в исходное сообщение, все на английском, если надо, мог на русском поискать

-- Ср ноя 10, 2010 00:09:15 --

Да, забыл еще написать про линейность матожидания.

(Ну и умолчал о всякой рутине вроде Гельдера, Коши-Буняковского, Иенсена и т.д.)

[caxap]

(Хорхе)

Хорхе
Спасибо.

-- Ср ноя 10, 2010 17:49:59 --

Хорхе в сообщении #372955 писал(а):

Иенсена

+1. Наверное большинство неравенств в конечном счёте основываются на выпуклости/вогнутости.

[arseniiv]

Хорхе в сообщении #372883 писал(а):

- квантильное преобразование

Да, замечательное преобразование!

Наверно, можно добавить теорему о виде тождественно ложной ДНФ (и двойственную), хотя пользовался ей всего раз (но понравилось ), да и двойственность вообще. Хотя двойственность, наверно, и так укладывается в "соображения симметрии".

[Хорхе]

Теоремы об отделении выпуклых тел - тоже замечательная вещь.

[caxap]

При нахождении интегралов бывает полезно выразить какой-нибудь множитель в подынтегральной функции (или всю её) через другой интеграл, а затем изменить порядок интегрирования. Аналогично с суммами.

[Ales]

1. Для решения многих задач анализа полезны производящие функции.

2. Когда-то я не любил координаты, но интересовался гидродинамикой.
Все операции векторного анализа я старался делать в бескоординатной форме с вектором Гамильтона и Хевисайда $\nabla$.
Уловка состояла в том, что я дополнительно еще соединял дугой снизу знак величины, которая дифференцируется и знак оператора $\nabla$. И это было очень эффективно (если помнишь что такое скалярное, векторное, смешанное произведение и что $dxy=ydx+xdy$).
Формулы щелкались, как орехи.

Например, уравнение Эйлера для несжимаемой жидкости ($\times$ - векторное произведение, скалярное и обычное произведение без указания знака, $u$ - вектор скорости жидкости в точке, $P$ -давление, $rot u= \nabla \times u, div u= \nabla u=0, grad P = \nabla P$):
$\frac {du} {dt} = -grad P
переписываем как
$\frac {\partial u} {\partial t} + (u\underbrace{\nabla)u} = -\nabla P,
далее из свойства обычного векторного произведения ($a\times(b\times c)=b(ac)-c(ab)$) выходит, что $u\times(\underbrace{\nabla \times u})=\underbrace{\nabla (u}u)-(u\underbrace{\nabla)u}$ или $(u\underbrace{\nabla)u}=(\underbrace{\nabla \times u})\times u+\underbrace{\nabla (u}u)=$ в силу симметрии $=(\underbrace{\nabla \times u})\times u+\nabla \frac {u^2}2$,
получаем таким образом уравнений Эйлера в виде:
$\frac {\partial u} {\partial t} + rot u\times u = -grad (P+\frac {u^2}2)$.

Возьмем ротор от всего выражения:
$\frac {\partial rot u} {\partial t} + \nabla \times(rot u\times u) = 0,
заменяем
$\nabla \times(rot u\times u) = \underbrace{\nabla\times(rot u}\times u) +\underbrace{\nabla\times(rot u\times u})=((u\underbrace{\nabla)rot u}- (div rot u)u)+((div u)rot u-(rotu \underbrace{\nabla)u})=(u\underbrace{\nabla)rot u}-(rotu \underbrace{\nabla)u}=$
$=\frac {\partial rot u}{\partial u}-\frac {\partial u}{\partial rot u}$, коммутатор векторных полей $rotu, u$.
Вот так быстро получено уравнение: $\frac {\partial rot u} {\partial t} =\frac {\partial u}{\partial rot u}-\frac {\partial rot u}{\partial u}.
Поток жидкости не меняется со временем тогда и только тогда, когда векторные поля скорости потока и его ротора коммутируют.
И еще одно суперсредство: группы Ли, коммутативная группа Ли размерности два - это тор, цилиндр или плоскость.
Постоянный поток невязкой жидкости в компакте устроен так: жидкость течет по поверхностям торов, вложенных друг в друга (прочитал у В.И. Арнольда).

[ewert]

Ales в сообщении #373333 писал(а):

Уловка состояла в том, что я дополнительно еще соединял дугой снизу знак величины, которая дифференцируется

Нас в детстве учили в таких случаях ставить точку над тем множителем, который фактически дифференцируется.

[ShMaxG]

Мне в свое время очень помогла (впрочем и сейчас помогает) следующая статья:

http://www.google.com/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CB4QFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.cs.uiuc.edu%2Fclass%2Fsp07%2Fcs473g%2Flectures%2Fx00-recurrences.pdf&rct=j&q=Solving%20Recurrences&ei=fVHcTJqPFY6bOrOLhZsJ&usg=AFQjCNH8_nDg0-DcqVvMhxz2uepvZw4B5w&sig2=YygWLcTgJDhIMwuVMZBEuw&cad=rja

Там рассказывается, как эффективно можно решать некоторые классы рекуррентных уравнений (теория аннигиляторов). Очень удобно (особенно для исследование на сходимость).