1. Для решения многих задач анализа полезны производящие функции.
2. Когда-то я не любил координаты, но интересовался гидродинамикой.
Все операции векторного анализа я старался делать в бескоординатной форме с вектором Гамильтона и Хевисайда

.
Уловка состояла в том, что я дополнительно еще соединял дугой снизу знак величины, которая дифференцируется и знак оператора

. И это было очень эффективно (если помнишь что такое скалярное, векторное, смешанное произведение и что

).
Формулы щелкались, как орехи.
Например, уравнение Эйлера для несжимаемой жидкости (

- векторное произведение, скалярное и обычное произведение без указания знака,

- вектор скорости жидкости в точке,

-давление,

):

переписываем как

,
далее из свойства обычного векторного произведения (

) выходит, что

или

в силу симметрии

,
получаем таким образом уравнений Эйлера в виде:

.
Возьмем ротор от всего выражения:

,
заменяем


, коммутатор векторных полей

.
Вот так быстро получено уравнение:

.
Поток жидкости не меняется со временем тогда и только тогда, когда векторные поля скорости потока и его ротора коммутируют.
И еще одно суперсредство: группы Ли, коммутативная группа Ли размерности два - это тор, цилиндр или плоскость.
Постоянный поток невязкой жидкости в компакте устроен так: жидкость течет по поверхностям торов, вложенных друг в друга (прочитал у В.И. Арнольда).