Формула вычисления производной самодостаточна?

[spartacus]

В формуле

$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$
не определены возможные варианты стремления приращения аргумента к "0".
Существуют три варианта:
1. $x_1\rightarrow x_2$;
2. $x_1\leftarrow x_2$;
3. $x_1\rightarrow x \leftarrow x_2$.
Соответственно, существуют три варианта предела \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}:
1. $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\rightarrow x_2}$;
2. \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\leftarrow x_2};
3. \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}.
Поэтому возможны три варианта результатов применения формулы
\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}:

1. \displaystyle f'(x_2)=\lim_{x_1\rightarrow x_2}}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x};
2. \displaystyle f'(x_1)=\lim_{x_1\leftarrow x_2}}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x};
3. \displaystyle f'(x)=\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}.
Все три варианта различны и не равны друг другу. Приведу пример на функции $y=x^3$:

$$1. \displaystyle (x_2^3)'=\lim_{x_1\rightarrow x_2}\frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}= \lim_{x_1\rightarrow x_2}\frac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}{x_2-x_1}=\displaystyle\lim_{x_1\rightarrow x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x_2^2+x_2\cdot x_2+x_2^2=3x_2^2$$

$$2. \displaystyle (x_1^3)'=\lim_{x_1 \leftarrow x_2}\frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}= \lim_{x_1 \leftarrow x_2}\frac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}{x_2-x_1}=\displaystyle\lim_{x_1 \leftarrow x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x_1^2+x_1\cdot x_1+x_1^2=3x_1^2$$

$$3. \displaystyle (x^3)'=\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}\frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}= \lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}\frac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}{x_2-x_1}=\displaystyle\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x^2+x\cdot x+x^2=3x^2$$

Поэтому, в матанализе произошла огромная путаница в терминах и понятиях при использовании формулы \displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} с неопределённым пределом, особенно при отыскании касательной к кривой! Т.к. $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$ - различные значения функции $f'(x)$, являющиеся точками касания, а $f'(x)$ - сама производная, касательная к которой не определена!
Кто сможет опровергнуть эту и другие, ещё более весомые, правки ошибок матанализа, указанные [ссылка на внешний сайт удалена. /Toucan (модератор)]?!

[paha]

(Оффтоп)

я в восторге от

spartacus в сообщении #372261 писал(а):

поправки ошибок

-- Пн ноя 08, 2010 03:21:34 --

открою Вам тайну... $\Delta x$ не обязательно положительно

[spartacus]

Если Вы увлекаетесь грамматикой, то сделайте в своём посте ещё одну правку...

[paha]

(Оффтоп)

spartacus в сообщении #372264 писал(а):

то сделайте в своём посте ещё одну правку...

вовсе не обязательно))

[BapuK]

spartacus в сообщении #372261 писал(а):

...
Все три варианта различны и не равны друг другу. Приведу пример на функции $y=x^3$:

$$1. \displaystyle (x_2^3)'=\dots=3x_2^2$$

$$2. \displaystyle (x_1^3)'=\dots=3x_1^2$$

$$3. \displaystyle (x^3)'=\dots=3x^2$$

...

если в первом заменить $x_2$ на $x$, во втором $x_1$ на $x$ то все три варианта одинаковы...

[spartacus]

А если их всех приравнять к нулю, то и проблем-то никаких не будет...и касательные никому не нужны...и приращения могут быть не только положительные...и , вообще, x_1 просто необходимо заменить на х_0...потом по стаканчику пивка...

[bot]

Пурга - однозначно.

[migmit]

Пурга очевидная. В исходной формуле нет никаких $x_1$ и $x_2$, откуда они вдруг появились?

[Toucan]

bot в сообщении #372282 писал(а):

Пурга - однозначно.

migmit в сообщении #372284 писал(а):

Пурга очевидная.

Согласен. Едем в Пургаторий.

[AD]

Автору - сначала понять, что понятие "предел" строго определено и разночтений не допускает. Потом уже почитать про разнообразные модификации понятия "производная", дабы не заниматься тяжелым велосипедостроением.