2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Формула вычисления производной самодостаточна?
Сообщение08.11.2010, 02:07 
В формуле

$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$
не определены возможные варианты стремления приращения аргумента к "0".
Существуют три варианта:
1. $x_1\rightarrow x_2$;
2. $x_1\leftarrow x_2$;
3. $x_1\rightarrow x \leftarrow x_2$.
Соответственно, существуют три варианта предела \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}:
1. $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\rightarrow  x_2}$;
2. \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\leftarrow x_2};
3. \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}.
Поэтому возможны три варианта результатов применения формулы
\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}:

1. \displaystyle f'(x_2)=\lim_{x_1\rightarrow  x_2}}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x};
2. \displaystyle f'(x_1)=\lim_{x_1\leftarrow  x_2}}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x};
3. \displaystyle f'(x)=\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}.
Все три варианта различны и не равны друг другу. Приведу пример на функции $y=x^3$:
$$1. \displaystyle (x_2^3)'=\lim_{x_1\rightarrow x_2}\frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}= \lim_{x_1\rightarrow x_2}\frac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}{x_2-x_1}=\displaystyle\lim_{x_1\rightarrow x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x_2^2+x_2\cdot x_2+x_2^2=3x_2^2$$
$$2. \displaystyle (x_1^3)'=\lim_{x_1 \leftarrow x_2}\frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}= \lim_{x_1 \leftarrow x_2}\frac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}{x_2-x_1}=\displaystyle\lim_{x_1 \leftarrow x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x_1^2+x_1\cdot x_1+x_1^2=3x_1^2$$
$$3. \displaystyle (x^3)'=\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}\frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}= \lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}\frac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}{x_2-x_1}=\displaystyle\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x^2+x\cdot x+x^2=3x^2$$

Поэтому, в матанализе произошла огромная путаница в терминах и понятиях при использовании формулы \displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} с неопределённым пределом, особенно при отыскании касательной к кривой! Т.к. $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$ - различные значения функции $f'(x)$, являющиеся точками касания, а $f'(x)$ - сама производная, касательная к которой не определена!
Кто сможет опровергнуть эту и другие, ещё более весомые, правки ошибок матанализа, указанные [ссылка на внешний сайт удалена. /Toucan (модератор)]?!

 
 
 
 Re: Формула вычисления производной самодостаточна?
Сообщение08.11.2010, 02:12 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

я в восторге от
spartacus в сообщении #372261 писал(а):
поправки ошибок


-- Пн ноя 08, 2010 03:21:34 --

открою Вам тайну... $\Delta x$ не обязательно положительно

 
 
 
 Re: Формула вычисления производной самодостаточна?
Сообщение08.11.2010, 02:36 
Если Вы увлекаетесь грамматикой, то сделайте в своём посте ещё одну правку...

 
 
 
 Re: Формула вычисления производной самодостаточна?
Сообщение08.11.2010, 02:46 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

spartacus в сообщении #372264 писал(а):
то сделайте в своём посте ещё одну правку...

вовсе не обязательно))

 
 
 
 Re: Формула вычисления производной самодостаточна?
Сообщение08.11.2010, 03:03 
Аватара пользователя
spartacus в сообщении #372261 писал(а):
...
Все три варианта различны и не равны друг другу. Приведу пример на функции $y=x^3$:
$$1. \displaystyle (x_2^3)'=\dots=3x_2^2$$
$$2. \displaystyle (x_1^3)'=\dots=3x_1^2$$
$$3. \displaystyle (x^3)'=\dots=3x^2$$
...

если в первом заменить $x_2$ на $x$, во втором $x_1$ на $x$ то все три варианта одинаковы...

 
 
 
 Re: Формула вычисления производной самодостаточна?
Сообщение08.11.2010, 03:21 
А если их всех приравнять к нулю, то и проблем-то никаких не будет...и касательные никому не нужны...и приращения могут быть не только положительные...и , вообще, x_1 просто необходимо заменить на х_0...потом по стаканчику пивка...

 
 
 
 Re: Формула вычисления производной самодостаточна?
Сообщение08.11.2010, 07:53 
Аватара пользователя
Пурга - однозначно.

 
 
 
 Re: Формула вычисления производной самодостаточна?
Сообщение08.11.2010, 09:12 
Пурга очевидная. В исходной формуле нет никаких $x_1$ и $x_2$, откуда они вдруг появились?

 
 
 
 Re: Формула вычисления производной самодостаточна?
Сообщение08.11.2010, 09:54 
Аватара пользователя
 i 
bot в сообщении #372282 писал(а):
Пурга - однозначно.
migmit в сообщении #372284 писал(а):
Пурга очевидная.
Согласен. Едем в Пургаторий.

 
 
 
 Re: Формула вычисления производной самодостаточна?
Сообщение12.12.2010, 20:30 
Автору - сначала понять, что понятие "предел" строго определено и разночтений не допускает. Потом уже почитать про разнообразные модификации понятия "производная", дабы не заниматься тяжелым велосипедостроением.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group