Что означает знак "дельта" ?

[moscwicz]

Странный спор. Есть разные понятия. Форма работы $Q_i(q)dq^i$ не является, вообще говоря точной.

Munin в сообщении #371903 писал(а):

Если рассмотреть процесс, то всё, очевидно, будет функцией - функцией процесса.

если рассматривать процесс, т.е. сузить форму на решения $q(t)$соответствующих уравнений, т.е.
рассмотреть$Q_i(q(t))\dot q^idt$ то да эта форма будет (локально) точной, любая форма (локально) точна на одномерном многообразии.

[ewert]

Munin в сообщении #371903 писал(а):

не функция состояния. Если рассмотреть процесс, то всё, очевидно, будет функцией - функцией процесса.

Нет, конечно, не функцией состояния. А функций "параметров состояния".

Что же до "функций процесса" (т.е. функционалов), то у них дифференциалов не бывает. Бывают, правда, вариации, и даже так же обозначаются, но к данной опере эта ария точно не относится.

[Himfizik]

Почитал ваши комменты. ... Порадовало обилие математических интерпретаций... Однако понимание на уровне - это функция состояния, а это - функция процесса вполне достаточно для физика, чтобы заниматься решением задач и построением теорий...

[Munin]

moscwicz в сообщении #371922 писал(а):

если рассматривать процесс, т.е. сузить форму на решения $q(t)$ соответствующих уравнений

А если на множество решений?

ewert в сообщении #371957 писал(а):

Что же до "функций процесса" (т.е. функционалов), то у них дифференциалов не бывает. Бывают, правда, вариации, и даже так же обозначаются

А чем принципиально вариация от дифференциала отличается?

[moscwicz]

Munin в сообщении #372028 писал(а):

moscwicz в сообщении #371922 wrote:
если рассматривать процесс, т.е. сузить форму на решения $q(t)$ соответствующих уравнений

А если на множество решений?

как сужать форму на многообразие в книжках пишут, а как сужать форму на множество многообразий не пишут.

[RNT]

$\[dy = f'\left( x \right)dx\]$, а если функция не является функцией состояния системы, то $\[\delta y = f\left( {dx} \right)\]$. Я правильно понял ?

[ewert]

Munin в сообщении #372028 писал(а):

А чем принципиально вариация от дифференциала отличается?

Принципиально. Вариация-- это типа "дифференциал" на бесконечномерном пространстве. В то время как обычный дифференциал -- на вполне конечномерном, и определяется вполне обычными частными производными.

[Munin]

ewert в сообщении #372217 писал(а):

Принципиально. Вариация-- это типа "дифференциал" на бесконечномерном пространстве.

Ну и? Принципиально-то - чем?

[Bulinator]

RNT в сообщении #372059 писал(а):

$\[dy = f'\left( x \right)dx\]$, а если функция не является функцией состояния системы, то $\[\delta y = f\left( {dx} \right)\]$. Я правильно понял ?

Помните из задач матана. Дана форма $f(x,y)dx+g(x,y)dy$. Каким условиям должны удовлетворять функции $f$ и/или $g$, чтобы это выражение было полным дифференциалом чего-то? Обычно одна из функций задается. В общем случае, нужно, чтобы

$\partial_y f=\partial_x g\qquad\qquad (1)$-

чтоб выполнялось требование, что смешанные производные равны и выражение могло быть завписано как $dh(x,y)=\partial_x h dx+\partial_y h dy$.
Так вот, если требование (1) не удовлетворяется, то пишем $\delta$ в противном случае-d.

[Munin]

Bulinator в сообщении #372233 писал(а):

Помните из задач матана. Дана форма $f(x,y)dx+g(x,y)dy$. Каким условиям должны удовлетворять функции $f$ и/или $g$, чтобы это выражение было полным дифференциалом чего-то?

Не просто чего-то, а некоторой третьей функции от $x$ и $y.$ При том, что в книжках по физике часто в явном виде эти $x$ и $y$ не перечисляются и не выписываются.

[Ales]

Кажется, термодинамика появилась до теории внешних форм.

-- Пн ноя 08, 2010 00:22:54 --

Физики вместо того, чтобы перенести новый формализм внешних форм в термодинамику оставили старые обозначения.

[RNT]

Bulinator в сообщении #372233 писал(а):

Помните из задач матана. Дана форма $f(x,y)dx+g(x,y)dy$. Каким условиям должны удовлетворять функции $f$ и/или $g$, чтобы это выражение было полным дифференциалом чего-то?

Не помню. Пару месяцев назад поступил в вуз, на физике сразу завалили интегралами, дифференциалами и прочими, всякими непонятными знаками. Без объяснений. Первый курс - простите за незнание многих вещей.

[Ales]

RNT в сообщении #372059 писал(а):

$\[dy = f'\left( x \right)dx\]$, а если функция не является функцией состояния системы, то $\[\delta y = f\left( {dx} \right)\]$. Я правильно понял ?

Нет это не правильно.
$dy$ - дифференциал, маленькое приращение величины $y$.
Если величина $y$ зависит от $x$, например $y(x) = x^2$,
то $dy=y'(x)dx$ - приращение функции равно производной, умноженной на приращение аргумента.
В данном примере $dy=dx^2=2xdx$.

Бывает что величина зависит от двух (и более) переменных, например $f(x,y)=xy$,
ее дифференциал имеет вид $df=\frac {\partial f} {\partial x} dx+\frac {\partial f} {\partial y} dy, dxy=ydx+xdy$.


Можно рассмотреть величину - произведение объема на давление $pV$.
Ее дифференциал будет иметь вид: $dpV=pdV+Vdp$.

Если на плоскости $(p,V)$ провести кривую,
то можно проинтегрировать (просуммировать) вдоль этой кривой эти маленькие величины $\int dpV=\int pdV+\int Vdp$.
Интеграл слева не зависит от пути интегрирования (от кривой) и равен разности величины $pV$ в конце и начале пути, а два интеграла справа каждый в отдельности зависят от пути интегрирования.
Один из них равен совершенной механической работе и в сумме с приращением внутренней энергии дает переданную теплоту. Переданная теплота зависит, таким образом, от того как происходил процесс теплообмена (какой была кривая на плоскости $(p,V)$ ). И чтобы это отметить, ее небольшое приращение обозначают$\delta Q$. Обозначают так, потому что физикам это удобно.

-- Пн ноя 08, 2010 01:36:33 --

Выражения вида $g(x,y)dx+h(x,y)dy$ называют внешними дифференциальными формами.
Их тоже можно интегрировать вдоль кривых как и дифференциалы функций, но результат интегрирования зависит не только от начала и конца пути (как в случае интегрирования дифференциала функции $df=\frac {\partial f} {\partial x} dx+\frac {\partial f} {\partial y} dy$) но и от того как проходил этот путь.
Попробуйте из точки (1,1) в точку (2,2) провести разные пути на плоскости $p,V$ и найти механическую работу - $\int pdV$, произведенную в результате этих процессов (каждому термодинамический процессу соответствует некоторый путь на плоскости $p,V$).

-- Пн ноя 08, 2010 01:51:53 --

Попробуйте также доказать, что если результат интегрирования дифференциальной формы не зависит от пути интегрирования, то эта форма является дифференциалом функции.

[ewert]

Munin в сообщении #372228 писал(а):

Ну и? Принципиально-то - чем?

Хотя бы тем, что в термодинамике вариации не рассматриваются. Уж во всяком случае в первом начале термодинамики: $\delta Q$ -- ни разу не вариация.

[Munin]

ewert в сообщении #372295 писал(а):

Хотя бы тем, что в термодинамике вариации не рассматриваются.

Может быть, просто они там так не называются?