Определение открытого интервала.

[Виктор Викторов]

Мне больше нравится такая схема:
Открытый интервал - открытое множество и как писал Келли «Подмножество $U$ топологического пространства $(X, F)$ называется окрестностью ($F$-окрестностью) точки $x$ тогда и только тогда, когда в $U$ лежит открытое множество, содержащее $x$. … Каждая окрестность точки содержит открытую окрестность этой точки.»
Джон Л. Келли «Общая Топология». Перевод с английского А. В. Архангельского. Издание второе. Москва «Наука» 1981.

Кстати, окрестностью точки топологического пространства вещественных чисел является любое множество, содержащее открытое множество, содержащее ту самую точку, а не только интервал даже, если он симметричный.

-- Сб ноя 06, 2010 17:04:42 --

ewert в сообщении #371599 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #371597 писал(а):

А это что за зверь "симметричный интервал"?

Он самый -- задаваемый стандартной метрикой.

Вы ж всё равно собираетесь рассматривать именно стандартную топологию (задаваемую, в конечном счёте, именно метрикой). Так чего ж и воду в ступе толочь?

А при чём здесь метрика? Можно и слова такого не знать. Как, Вы видите, можно спокойно задать топологию без метрики. Так, что никакого конечного счёта.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #371604 писал(а):

А при чём здесь метрика? Можно и слова такого не знать.

Можно. Но не нужно.

Вы ж всё равно топологию вводите в конце концов именно такую -- индуцированную именно метрикой. Ну так чего ж и невинность-то строить.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #371608 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #371604 писал(а):

А при чём здесь метрика? Можно и слова такого не знать.

Можно. Но не нужно.

Вы ж всё равно топологию вводите в конце концов именно такую -- индуцированную именно метрикой. Ну так чего ж и невинность-то строить.

О невинности поговорим в следующий раз. Метрическое пространство частный случай топологического, а не наоборот. И введение его впрямую без обращения к метрике законно и естественно.

[Виктор Викторов]

caxap в сообщении #371470 писал(а):

Множество $I$ называется открытым, если для любой его точки найдётся окрестность $U\subset I$. Не?

Не! Сначала определяем открытый интервал. Затем открытое множество и лишь после этого с помощь открытого множества окрестность.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #371643 писал(а):

Не! Сначала определяем открытый интервал. Затем открытое множество и лишь после этого с помощь открытого множества окрестность.

Вы же собираетесь определять базу топологии. Ну так общепринятой базой и являются конечные интервалы. От того, что вы добавите к ним полубесконечные (а зачем-то ещё и пустой) -- топология не изменится. Непонятно, за что Вы боретесь: за усложнение конструкции?...

[Someone]

Что-то я не врублюсь. Допустим, есть у нас (линейно или частично) упорядоченное множество $X$. Стандартно порядковая топология на нём вводится с помощью предбазы, образованной всевозможными интервалами $(-\infty,a)=\{x\in X:x<a\}$ и $(a,+\infty)=\{x\in X:x>a\}$.
В чём проблема-то?

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #371701 писал(а):

Вы же собираетесь определять базу топологии. Ну так общепринятой базой и являются конечные интервалы.

Так и я ничего не понимаю. Множество всех ограниченных открытых интервалов — база топологии числовой прямой.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #371869 писал(а):

Множество всех ограниченных открытых интервалов — база числовой прямой.

Ну так зачем ещё и бесконечные добавлять?... Если, конечно, Вы рассматриваете не расширенную ось (но тогда существенно, сколько бесконечностей она включает).

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #371873 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #371869 писал(а):

Множество всех ограниченных открытых интервалов — база числовой прямой.

Ну так зачем ещё и бесконечные добавлять?... Если, конечно, Вы рассматриваете не расширенную ось (но тогда существенно, сколько бесконечностей она включает).

$(a, b)$ — ограниченный открытый интервал. Что Вам не нравится?

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #371869 писал(а):

база числовой прямой

база топологии числовой прямой


а по отношению к стартовому сообщению: база, состоящая из "интервалов" ничем не лучше других баз, поэтому никакого "замечательного короткого" определения быть не может -- это такая "онтологическая" причина

Эта база выделяется из других с помощью связности, или порядка

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #371880 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #371869 писал(а):

база числовой прямой

база топологии числовой прямой

Спасибо. Оговорка по Фрейду. Сейчас исправлю.

paha в сообщении #371880 писал(а):

а по отношению к стартовому сообщению: база, состоящая из "интервалов" ничем не лучше других баз, поэтому никакого "замечательного короткого" определения быть не может -- это такая "онтологическая" причина

Эта база выделяется из других с помощью связности, или порядка

А где Вы увидели про "замечательное короткое" определение? Я такого не писал. Я говорю об определении с единой точки зрения. Вы говорите о том же "с помощью связности, или порядка".

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #371885 писал(а):

Я говорю об определении с единой точки зрения

вопрос уже конечно не математический, а эстетический
Лучше явного определения ничего не придумать.

Григорий Сковорода писал(а):

Благословен Господь, сделавший всё трудное ненужным и всё нужное — нетрудным!

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #371889 писал(а):

Григорий Сковорода писал(а):

Благословен Господь, сделавший всё трудное ненужным и всё нужное — нетрудным!

Интересное спорное высказывание.

paha в сообщении #371889 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #371885 писал(а):

Я говорю об определении с единой точки зрения

вопрос уже конечно не математический, а эстетический
Лучше явного определения ничего не придумать.

Я не стремился выдумывать лучшее. Мне важно выявить общее в различных видах открытых интервалов.

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #371893 писал(а):

Мне важно выявить общее в различных

Льюис Кэролл писал(а):

Что общего между вороном и конторкой?

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #371898 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #371893 писал(а):

Мне важно выявить общее в различных

Льюис Кэролл писал(а):

Что общего между вороном и конторкой?

Я не знаю, что общего между вороном и конторкой. А общее у различных видов открытых интервалов то, что все точки открытых интервалов внутренние, и то, что открытые интервалы связные множества.