2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 00:02 
Аватара пользователя
Мне больше нравится такая схема:
Открытый интервал - открытое множество и как писал Келли «Подмножество $U$ топологического пространства $(X, F)$ называется окрестностью ($F$-окрестностью) точки $x$ тогда и только тогда, когда в $U$ лежит открытое множество, содержащее $x$. … Каждая окрестность точки содержит открытую окрестность этой точки.»
Джон Л. Келли «Общая Топология». Перевод с английского А. В. Архангельского. Издание второе. Москва «Наука» 1981.

Кстати, окрестностью точки топологического пространства вещественных чисел является любое множество, содержащее открытое множество, содержащее ту самую точку, а не только интервал даже, если он симметричный.

-- Сб ноя 06, 2010 17:04:42 --

ewert в сообщении #371599 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #371597 писал(а):
А это что за зверь "симметричный интервал"?

Он самый -- задаваемый стандартной метрикой.

Вы ж всё равно собираетесь рассматривать именно стандартную топологию (задаваемую, в конечном счёте, именно метрикой). Так чего ж и воду в ступе толочь?

А при чём здесь метрика? Можно и слова такого не знать. Как, Вы видите, можно спокойно задать топологию без метрики. Так, что никакого конечного счёта.

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 00:09 
Виктор Викторов в сообщении #371604 писал(а):
А при чём здесь метрика? Можно и слова такого не знать.

Можно. Но не нужно.

Вы ж всё равно топологию вводите в конце концов именно такую -- индуцированную именно метрикой. Ну так чего ж и невинность-то строить.

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 00:17 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #371608 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #371604 писал(а):
А при чём здесь метрика? Можно и слова такого не знать.

Можно. Но не нужно.

Вы ж всё равно топологию вводите в конце концов именно такую -- индуцированную именно метрикой. Ну так чего ж и невинность-то строить.

О невинности поговорим в следующий раз. Метрическое пространство частный случай топологического, а не наоборот. И введение его впрямую без обращения к метрике законно и естественно.

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 01:26 
Аватара пользователя
caxap в сообщении #371470 писал(а):
Множество $I$ называется открытым, если для любой его точки найдётся окрестность $U\subset I$. Не?

Не! Сначала определяем открытый интервал. Затем открытое множество и лишь после этого с помощь открытого множества окрестность.

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 08:37 
Виктор Викторов в сообщении #371643 писал(а):
Не! Сначала определяем открытый интервал. Затем открытое множество и лишь после этого с помощь открытого множества окрестность.

Вы же собираетесь определять базу топологии. Ну так общепринятой базой и являются конечные интервалы. От того, что вы добавите к ним полубесконечные (а зачем-то ещё и пустой) -- топология не изменится. Непонятно, за что Вы боретесь: за усложнение конструкции?...

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 13:34 
Аватара пользователя
Что-то я не врублюсь. Допустим, есть у нас (линейно или частично) упорядоченное множество $X$. Стандартно порядковая топология на нём вводится с помощью предбазы, образованной всевозможными интервалами $(-\infty,a)=\{x\in X:x<a\}$ и $(a,+\infty)=\{x\in X:x>a\}$.
В чём проблема-то?

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 14:53 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #371701 писал(а):
Вы же собираетесь определять базу топологии. Ну так общепринятой базой и являются конечные интервалы.

Так и я ничего не понимаю. Множество всех ограниченных открытых интервалов — база топологии числовой прямой.

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 15:00 
Виктор Викторов в сообщении #371869 писал(а):
Множество всех ограниченных открытых интервалов — база числовой прямой.

Ну так зачем ещё и бесконечные добавлять?... Если, конечно, Вы рассматриваете не расширенную ось (но тогда существенно, сколько бесконечностей она включает).

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 15:08 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #371873 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #371869 писал(а):
Множество всех ограниченных открытых интервалов — база числовой прямой.

Ну так зачем ещё и бесконечные добавлять?... Если, конечно, Вы рассматриваете не расширенную ось (но тогда существенно, сколько бесконечностей она включает).

$(a, b)$ — ограниченный открытый интервал. Что Вам не нравится?

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 15:09 
Аватара пользователя
Виктор Викторов в сообщении #371869 писал(а):
база числовой прямой

база топологии числовой прямой


а по отношению к стартовому сообщению: база, состоящая из "интервалов" ничем не лучше других баз, поэтому никакого "замечательного короткого" определения быть не может -- это такая "онтологическая" причина

Эта база выделяется из других с помощью связности, или порядка

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 15:21 
Аватара пользователя
paha в сообщении #371880 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #371869 писал(а):
база числовой прямой

база топологии числовой прямой

Спасибо. Оговорка по Фрейду. Сейчас исправлю.

paha в сообщении #371880 писал(а):
а по отношению к стартовому сообщению: база, состоящая из "интервалов" ничем не лучше других баз, поэтому никакого "замечательного короткого" определения быть не может -- это такая "онтологическая" причина

Эта база выделяется из других с помощью связности, или порядка

А где Вы увидели про "замечательное короткое" определение? Я такого не писал. Я говорю об определении с единой точки зрения. Вы говорите о том же "с помощью связности, или порядка".

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 15:27 
Аватара пользователя
Виктор Викторов в сообщении #371885 писал(а):
Я говорю об определении с единой точки зрения

вопрос уже конечно не математический, а эстетический
Лучше явного определения ничего не придумать.
Григорий Сковорода писал(а):
Благословен Господь, сделавший всё трудное ненужным и всё нужное — нетрудным!

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 15:36 
Аватара пользователя
paha в сообщении #371889 писал(а):
Григорий Сковорода писал(а):
Благословен Господь, сделавший всё трудное ненужным и всё нужное — нетрудным!

Интересное спорное высказывание.

paha в сообщении #371889 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #371885 писал(а):
Я говорю об определении с единой точки зрения

вопрос уже конечно не математический, а эстетический
Лучше явного определения ничего не придумать.

Я не стремился выдумывать лучшее. Мне важно выявить общее в различных видах открытых интервалов.

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 15:47 
Аватара пользователя
Виктор Викторов в сообщении #371893 писал(а):
Мне важно выявить общее в различных



Льюис Кэролл писал(а):
Что общего между вороном и конторкой?

 
 
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 16:00 
Аватара пользователя
paha в сообщении #371898 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #371893 писал(а):
Мне важно выявить общее в различных

Льюис Кэролл писал(а):
Что общего между вороном и конторкой?

Я не знаю, что общего между вороном и конторкой. А общее у различных видов открытых интервалов то, что все точки открытых интервалов внутренние, и то, что открытые интервалы связные множества.

 
 
 [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group