Пробелы в образовании

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #371203 писал(а):

Но ведь в матане как-то по другому было, без меры ноль. Что-то насчёт того, что то ли непрерывная, то ли кусочно непрерывная функция раскладывается в ряд Фурье с поточечной сходимостью (может быть, за исключением конечного числа точек, не помню). И вот в это-то утверждение я так и не въехал!

Это явно противоречит предыдущему:

Профессор Снэйп в сообщении #371203 писал(а):

Я когда ряды Фурье появились на третьем курсе в функане, тут же кое-что понял и жутко обрадовался. Синусы и косинусы на отрезке --- гильбертов базис в $L_2[\pi,\pi]$, доказывается несложно.

Интересно, а как это можно доказать "несложно"?... Без ссылки на "наивную" сходимость (вот ту самую матановскую), типа теоремы Дирихле, тут не обойдёшься. В любом варианте попыхтеть придётся, ни из каких общих соображений базисность не следует. Ну т.е. можно, конечно, сослаться на задачу Штурма-Лиувилля как на нечто общее, но она уже сама по себе -- достаточно тяжёлая артиллерия.

(Другое дело, что некоторые товарищи любят излагать ряды Фурье в курсе анализа, вообще не упоминая про ортогональность. Это действительно никуда не годится.)

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #371203 писал(а):

Синусы и косинусы на отрезке --- гильбертов базис в $L_2[\pi,\pi]$, доказывается несложно.

Ортогональность да, несложно. А полнота?

Профессор Снэйп в сообщении #371203 писал(а):

Так что своими глазами воочию увидел, что да, каждая интегрируемая функция раскладывается в ряд из синусов и косинусов с точностью до множества меры ноль

Из сходимости в $L^2$ сходимость почти всюду не следует.

(Оффтоп)

Накинулись За живое задело, видимо.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #371211 писал(а):

Из сходимости в $L^2$ сходимость почти всюду не следует.

Та тю, там ещё и непрерывности мало, и пределы по рассеянности перевраны; это-то всё как раз малосущественно.

[moscwicz]

Профессор Снэйп в сообщении #371203 писал(а):

Что касается теплопроводности, Лапласа и прочей самой жуткой галиматьи, собранной в одну неаппетитную кучу под обложкой "уравнения в частных производных". Короче, в курс урматов я не врубился, процентов 80 из того, что нам рассказывали, расплавилось и протекло мимо мозга. Дюже гадостная наука!

вот такое же и у меня осталось впечатление от курса, на самом деле это огромная красивая наука, в которой находятся задачи на любой вкус, глубоко связанная с функаном, действительным анализом, но это потом пнимаешь, по прочтении хорошего учебника

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #371203 писал(а):

А Фихтенгольц это что?

Я не это имел ввиду.

[moscwicz]

Padawan в сообщении #371211 писал(а):

Ортогональность да, несложно. А полнота?

ну всего надо помнить про теорему Вейерштрасса об аппроксимации непр. функций тригон. полиномами. Для этого теория рядов Фурье из классического анализа не нужна. Еще надо знать, что $C$ плотно в $L^2$ для этого тоже классическая теория рядов Фурье не нужна.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #371209 писал(а):

Интересно, а как это можно доказать "несложно"?... Без ссылки на "наивную" сходимость (вот ту самую матановскую), типа теоремы Дирихле, тут не обойдёшься. В любом варианте попыхтеть придётся, ни из каких общих соображений базисность не следует. Ну т.е. можно, конечно, сослаться на задачу Штурма-Лиувилля как на нечто общее, но она уже сама по себе -- достаточно тяжёлая артиллерия.

Ой, я уже детали не помню, 15 лет прошло. Но у нас функанщик как-то хитро извернулся и доказал полноту весьма коротко и изящно, чуть ли не короче, чем ортогональность. Помню, там фигурировали какие-то ядра интегральных операторов...

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #371211 писал(а):

Из сходимости в $L^2$ сходимость почти всюду не следует.

Ну да. Имел в виду одно, написал другое...

-- Сб ноя 06, 2010 17:25:37 --

А ещё у нас физик в универе гнал про волновые пакеты, пытаясь объяснить преломление света. Тут ещё непонятнее...

Короче, дискретная математика рулит, непрерывная отдыхает!

[moscwicz]

Профессор Снэйп в сообщении #371332 писал(а):

Короче, дискретная математика рулит, непрерывная отдыхает!

Вас обманули, на самом деле все наоборот

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #363008 писал(а):

Окончив мехмат со средним баллом 4.85, так и не узнал, что такое тензор. И до сих пор толком не знаю

Тензор - это элемент тензорного произведения, а тензорное произведение $U\otimes V\otimes \dots\otimes Z$ - это множество мультилинейных форм на $U^*\times V^*\times\dots\times Z^*$ :)

А я вот так и не врубился до конца в статистику. Ну то есть всякие критерии я понимаю исключительно как рецепты, а глубинной сути не вижу.

[Профессор Снэйп]

Xaositect в сообщении #371341 писал(а):

А я вот так и не врубился до конца в статистику.

А у нас разные люди читали тервер и статистику. Тервер давался в максимально абстрактном виде. Статистику же опосля читал "практик", который, конечно, с одной стороны доказывал всякие там $\chi^2$ и Фишеров, а, с другой стороны, постоянно делал упор на применение всего этого. В результате тервер понравился крайне, статистика не понравилась совсем.

-- Сб ноя 06, 2010 18:03:34 --

moscwicz в сообщении #371339 писал(а):

Вас обманули, на самом деле все наоборот

Это не они, это я всех обманываю. Кругом в голос твердят, что с непрерывным сабжем легче, я не верю. Нет, конечно, физическая интуиция считать интегралы с физматшколы осталась, но глубокое убеждение, что это всё некрасиво, хоть иногда и понятно, постоянно живёт в душе.

У нас в Институт Математики как-то раз одна дама из техперсонала принесла интеграл, заданный внуку на дом на первом курсе универа. И по глупости пошла с ним зачем-то в отдел математической логики! И что бы вы думали? Зав. отделом академик РАН не решил, зав. лабораторией член-корр. не решил... В конце-концов решил я Просто у меня матан был 5 лет назад, а у них 25 или 40, какие нафиг интегралы с логарифмами?

академик А. И. Мальцев писал(а):

Математика заканчивается там, где начинаются интегралы.

Проблема в том, что в непрерывной математике нельзя достичь абсолютной строгости. Пока излагаем основы, вроде всё нормально, последовательность-подпоследовательность-для любого $\varepsilon$ существует $\delta$, но это всё основы, а стоит пойти чуть-чуть далее, как начинается: подвигаем чуть чуть точку или кривую, в малой окрестности, понятно, что если числа лежат рядом... Логика подменяется интуицией! Между тем только благодаря логике мы имеем странные кривые вроде кривой Пеано и прочие не согласующиеся с повседневным опытом вещи. А ведь математика --- это средство убежать от обыденности! Так что лучше дискретная

[moscwicz]

Профессор Снэйп в сообщении #371346 писал(а):

Кругом в голос твердят, что с непрерывным сабжем легче, я не верю

не легче, у одних интуиция заточена под топологию, а у других под дискретку, это какие-то врожденные свойства мышления. Мне приятно думать о всяких слабх сходимостях, компактностях и т.д. А чуть более сложная комбинаторная задача меня вырубает, я ее не чувствую. А "непрерывщики" еще внутри себя делятся на аналитиков и геометров

-- Sat Nov 06, 2010 17:23:33 --

Профессор Снэйп в сообщении #371346 писал(а):

Проблема в том, что в непрерывной математике нельзя достичь абсолютной строгости. Пока излагаем основы, вроде всё нормально, последовательность-подпоследовательность-для любого $\varepsilon$ существует $\delta$, но это всё основы, а стоит пойти чуть-чуть далее, как начинается: подвигаем чуть чуть точку или кривую, в малой окрестности, понятно, что если числа лежат рядом... Логика подменяется интуицией!

Это чепуха. Ничего не подменяется, доказательства совершенно строгие в правильных книжках.

[worm2]

Профессор Снэйп писал(а):

статистика не понравилась совсем.

Не мудрено. Ведь это:

Профессор Снэйп писал(а):

математика --- это средство убежать от обыденности!

совсем не про статистику. И вообще не про ту математику, которая выросла из нужд практики и этою практикою, зараза, рихтуется до всяких уродств

Со статистикой вообще интересная штука: очень многие математики, даже доктора наук (разумеется, не те, которые на статистике специализировались, у них иммунитет), столкнувшись с необходимостью использования статистических методов, применяют их неправильно. Потому что возникает предубеждение: "А, это всё уже давно решено, сейчас в учебник/справочник гляну и всё распишу". Но в учебниках разбираются учебные задачи, а про нюансы практических задач ничего не пишут: к математике они не относятся, а статистика — раздел математики. Где уж тут любовь?

[Padawan]

Xaositect в сообщении #371341 писал(а):

Тензор - это элемент тензорного произведения, а тензорное произведение $U\otimes V\otimes \dots\otimes Z$ - это множество мультилинейных форм на $U^*\times V^*\times\dots\times Z^*$ :)

Это только если рассматриваемые пространства конечномерны. А правильное определение тензорного произведения в общем случае -- через универсальное свойство для полилинейных отображений.

[Xaositect]

Padawan в сообщении #371415 писал(а):

Это только если рассматриваемые пространства конечномерны. А правильное определение тензорного произведения в общем случае -- через универсальное свойство для полилинейных отображений.

Может и так, у меня все конечномерное. Хотя я что-то сходу не вижу проблемы с бесконечномерными пространствами. Вроде бы можно взять базис Гамеля и сделать все то же самое.
А если определять через универсальное свойство - то надо доказывать, что начальный объект существует, т.е. какую-то конструкцию по-хорошему все равно надо предъявить.