Найти общую формулу (система двух уравнений)

[VAL]

Батороев в сообщении #369689 писал(а):

Ваше решение всем устраивает, за исключением того, что оно - не мое (шутка).

Ну тогда изложу его еще раз
Без ссылок на предыдущие посты. Глядишь, удастся привести свои (или Ваши) мысли в порядок.

Итак, нам надо описать все пары натуральных чисел $(x,y)$ таких, что $x(y+1)$ и $(x+1)y$ являются квадратами.

Возьмем произвольное натуральное число $z$ и положим $x=z^2$.
Пусть $z^2+1=dt^2$, где $d$ - свободно от квадратов. Положим $y=\frac{(dtb)^2}{x+1}$, где пара $(a, b)$ - произвольное решение уравнения Пелля $u^2-dv^2=1$.
Тривиально проверяется $x(y+1)$ и $(x+1)y$ являются квадратами. Разумеется, наряду с парой $(x,y)$, подходящей является также пара $(y,x)$.

Отмечу, что уравнение $u^2-dv^2=1$ имеет бесконечно много натуральных решений при любом $d$. Способ нахождения этих решений не является секретом и описан во многих книжках по теории чисел. Таким образом для любого икса, являющегося квадратом имеем бесконечное множество подходящих игреков.

Что пока не доказано? То, что других решений нет.
Но их нет! Честное слово!

[VAL]

Если это еще кому-то интересно.