Замкнутость гиперплоскости.

[zluka]

В ходе решения задачи на экстремумы функции многих переменных очень хочется, чтобы множество G (как подмножество $R^n $)
$ G= \{ x_1,x_2,... x_n| x_1+x_2+...+x_n=c \} $ оказалось замкнутым. Верно ли это? И если да то, пожалуйста помогите доказать.

[Someone]

Верно. Потому что функция $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1+x_2+\ldots+x_n$ непрерывна.

[ewert]

zluka в сообщении #368468 писал(а):

Верно ли это? И если да то, пожалуйста помогите доказать.

Верно потому, что это конечномерное аффинное подпространство. А в конечномерном случае любое подпространство замкнуто. Вотъ.

[zluka]

То есть образ замкнутого множества при непрерывном отображении есть замкнутое множество?

[Someone]

Наоборот: полный прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении замкнут. То, о чём говорит ewert, есть следствие этого свойства. Может быть, он сейчас какое-нибудь более простое доказательство своего утверждения укажет.

[ewert]

Someone в сообщении #368504 писал(а):

Может быть, он сейчас какое-нибудь более простое доказательство своего утверждения укажет.

Нет. Я вообще-то намекал на полноту любого конечномерного пространства. Я вообще-то просто пошутил.

[zluka]

Спасибо Someone. Я все понял.