Ответ:
при нечётных -- всегда можно;
при чётных и не делящихся на 4 -- всегда нельзя;
при делящихся на 4 -- всегда есть конфигурации, когда можно, и всегда есть, когда нельзя.
Решение.
Пусть

-- добавка к паре

,

, и

-- к паре

. Обнуление означает решение системы:

При нечётных

матица системы невырожденна (детерминант равен двум) и, значит, решение всегда есть. При чётном матрица вырождена и её коранг равен единице. Разрешимость равносильна ортогональности правой части решению однородной сопряженной системы. Это решение единственно (с точностью до постоянного множителя и представляет собой строчку, заполненную чередующимися единицами и минус единицами. Т.е условие разрешимости заключается ровно в том, что сумма чисел, стоящих в чётных позициях, равна сумме для нечётных. Если количество позиций чётно и не делится на 4, то такое никогда невозможно (поскольку нечётна общая сумма). Если делится на четыре -- то всегда найдутся хорошие начальные конфигурации (например, достаточно переставить из упорядоченной расстановки каждую вторую пару); ну и всегда возможны, конечно, и плохие.
-- Вс окт 31, 2010 21:00:28 --А зачем понадобилось расположение по кругу?
Если цепочка линейна, то это уже другая задача. При этом система оказывается переопределённой и во всех случаях полного ранга. В чётном случае ничего не изменяется. В нечётном решений теперь уже решений может и не быть, т.к. возникает аналогичное условие ортогональности. Т.е. обнулить иногда можно, а иногда нельзя. Но вот выровнять -- действительно, можно всегда, т.к. ортогональности всегда можно добиться прибавлением одного и того же числа ко всем правым частям.