Кинематика

[Ms-dos4]

Попалась такая задачка. Тело бросили вертикально вверх и оно побывало на высоте 58.8 метров 2 раза, причём между ними прошло 4 секунды. Найти начальную скорость, с которой бросили тело.
Я рассуждаю так:
Уравнение для подъёма на максимальную высоту:
$\[{h_{\max }} = {v_0}t - \frac{{g{t^2}}}{2}\]$
до высоты 58.8м
$\[h = {v_0}{t_3} - \frac{{gt_3^2}}{2}\]$
Значит время от 58.8 до максимума $\[t - {t_3} = {t_1}\]$
И от момента достижения максимума до того , как снова "пересечёт" 58.8м
$\[({h_{\max }} - h) = \frac{{gt_2^2}}{2}\]$
Решая 1-е ур-ие получил $\[t = \frac{{2{v_0} \pm \sqrt {4v_0^2 - 8g{h_{\max }}} }}{{2g}}\]$
Решая 2-е $\[{t_3} = \frac{{2{v_0} \pm \sqrt {4v_0^2 - 8gh} }}{{2g}}\]$
Значит $\[{t_1} = \frac{{\sqrt {4v_0^2 - 8g{h_{\max }}} - \sqrt {4v_0^2 - 8gh} }}{{2g}}\]$
Решая 3-е уравнение получаем $\[{t_2} = \sqrt {\frac{{2({h_{\max }} - h)}}{g}} \]$
И исходя из условия получаем
$\[\sqrt {\frac{{2({h_{\max }} - h)}}{g}} +\frac{{\sqrt {4v_0^2 - 8g{h_{\max }}} - \sqrt {4v_0^2 - 8gh} }}{{2g}} = 4\]$
Но вот вопрос- как найти h(max)-?

[Maslov]

Ms-dos4 в сообщении #368116 писал(а):

Но вот вопрос- как найти h(max)-?

А сколько времени тело падало с максимальной высоты до высоты 58.8 м?

[Ms-dos4]

Цитата:

А сколько времени тело падало с максимальной высоты до высоты 58.8 м?

$\[{t_2} = \sqrt {\frac{{2({h_{\max }} - h)}}{g}} \]$

[Maslov]

Цитата:

оно побывало на высоте 58.8 метров 2 раза, причём между ними прошло 4 секунды

А это условие никак нельзя использовать? :)

[Ms-dos4]

Я в результирующей формуле и использовал. Известны h и общее значение выражения. Выразить v оттуда можно, но h(max) то неизвестно.

[Maslov]

Ну представьте, что Вы, находясь на высоте 58.8 м, просто бросаете тело вверх, и оно через 4 секунды возвращается обратно. Сколько времени тело летело до верхней точки?

[Ms-dos4]

2 секунды

[Maslov]

Ну и замечательно. Значит вниз от верхней точки тело падало тоже 2 секунды. А сколько пролетает падающее тело за 2 секунды, если падение начинается с нулевой начальной скоростью?

[Ms-dos4]

19.6 метров. Спасибо! Значит h(max)=h+19.6. Всё замечательно решилось(правда куча вычислений, вытаскивая v из под корней), но в итоге получилось 39.2 м/с. Ещё раз спасибо!

[ewert]

Ms-dos4 в сообщении #368133 писал(а):

(правда куча вычислений, вытаскивая v из под корней)

Куча состоит ровно из одного корня: $v^2=2g\cdot(58.8+19.2)$.

[Himfizik]

Использование уравнений движения, конечно, хорошо. Но эта задача уж точно в несколько строчек решается через закон сохранения энергии.

[Bulinator]

Имеем

$h=vt_1-\frac{gt_1^2}{2}$
т.к. через 2 сек тело будет на той же высоте, имеем
$h=v(t_1+2)-\frac{g(t_1+2)^2}{2}$

Из системы уравнений с легкостью находим $t_1$ и $v$.

[ewert]

Bulinator в сообщении #368372 писал(а):

т.к. через 2 сек тело будет на той же высоте, имеем

Только не через две, а через четыре секунды. Тем не менее: ну нельзя же быть такими умными! После того, как уже с лёгкостью найдена высота от земли до вершины траектории.

[Himfizik]

$\delta t=2v/g $ (очевидное кинематическое соотношение) и $v_0^2=2gh+v^2$ (закон сохранения энергии), где $v_0$-искомая начальная скорость, $h$-заявленная в задаче высота, $v$-скорость на заявленной высоте, а $\delta t$-интервал времени между двумя наблюдениями. По-моему так короче всего и без квадратных уравнений обойдемся.

[y_nikolaenko]

Himfizik в сообщении #368532 писал(а):

$\delta t=2v/g $ (очевидное кинематическое соотношение) ... По-моему так короче всего и без квадратных уравнений обойдемся.

Это тоже из квадратного уравнения, либо закон сохранения энергии надо привлекать. Но, т.к. задача заявлена как кинематическая, то из квадратного уравнения.