Равенство множеств

[Lyosha]

Виктор Викторов!
Неужели мне надо определять понятие внутри!Под ним я вовсе не понимал ни чего экстравагантного.Чем Вам не нравится такой элемент множества Земля как Меркурий?В данном случае под отношением "содержать в качестве элемента" понимается - находиться внутри указанной выше сферы.Согласен,что такое понимание выражения "быть элементом" весьма необычно.Ну а почему бы и нет?

[Виктор Викторов]

Lyosha в сообщении #368154 писал(а):

Неужели мне надо определять понятие внутри!Под ним я вовсе не понимал ни чего экстравагантного.Чем Вам не нравится такой элемент множества Земля как Меркурий?В данном случае под отношением "содержать в качестве элемента" понимается - находиться внутри указанной выше сферы.Согласен,что такое понимание выражения "быть элементом" весьма необычно.Ну а почему бы и нет?

Вот множество $LV$. Мне нужен критерий, как определить объект $d$ принадлежит этому множеству или нет? И от этого никуда не уйти. Нет критерия — нет множества.

[Lyosha]

Объект $d$принадлежит множеству $LV$ если его расстояние до центра Солнца не превосходит радиуса орбиты Венеры.Для простоты будем считать,что орбиты планет - окружности,а их центры - в центре Солнца.

[Виктор Викторов]

Lyosha в сообщении #368163 писал(а):

Объект $d$принадлежит множеству $LV$ если его расстояние до центра Солнца не превосходит радиуса орбиты Венеры.Для простоты будем считать,что орбиты планет - окружности,а их центры - в центре Солнца.

Хорошо, что делаем дальше?

[Lyosha]

Берём планету Земля,берём Меркурий,вводим отношение "находиться не дальше радиуса орбиты Венеры $R_v$ от ценра орбиты Земли",переименовываем его "быть элементом" множества Земля и Меркурий оказывается элементом множества Земля.

[Виктор Викторов]

Lyosha в сообщении #368165 писал(а):

Берём планету Земля,берём Меркурий,вводим отношение "находиться не дальше радиуса орбиты Венеры $R_v$ от ценра орбиты Земли",переименовываем его "быть элементом" множества Земля и Меркурий оказывается элементом множества Земля.

Что такое Ваше "переименовываем" в аксиомах ZFC? Какое отношение "находиться не дальше радиуса орбиты Венеры" имеет к "Объект $d$принадлежит множеству $LV$ если его расстояние до центра Солнца не превосходит радиуса орбиты Венеры"? Учтите, что я возьму элементы первого множества и проверю являются ли они элементами второго, а потом возьму элементы второго множества и проверю являются ли они элементами первого. А если Вы не дадите мне этой возможности, то сделка не состоится.

[Lyosha]

Виктор Викторов в сообщении #368166 писал(а):

Что такое Ваше "переименовываем" в аксиомах ZFC?

Это значит,что ZFC не занимается ни какими конкретными множествами,элементами,отношениями.Она не изучает ни какие конкретные свойства натуральных чисел:коммутативность,ассоциативность,простоту чисел и т.д. и т.п. Я всего лишь построил модель в которой Земля и Марс оказались множествами(не в понимании "наивной" ТМ),а их элементами - всё,что находится не дальше $R_v$от центра Солнца(орбит Земли,Марса).Эти два множества неразличимы с точки зрения ТМ,но как объекты изучения астрономии они различны. Кажется,что-то вроде этого отписал Вам Someone.

[Виктор Викторов]

Lyosha в сообщении #368168 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #368166 писал(а):

Что такое Ваше "переименовываем" в аксиомах ZFC?

Это значит,что ZFC не занимается ни какими конкретными множествами,элементами,отношениями.Она не изучает ни какие конкретные свойства натуральных чисел:коммутативность,ассоциативность,простоту чисел и т.д. и т.п. Я всего лишь построил модель в которой Земля и Марс оказались множествами(не в понимании "наивной" ТМ),а их элементами - всё,что находится не дальше $R_v$от центра Солнца(орбит Земли,Марса).Эти два множества неразличимы с точки зрения ТМ,но как объекты изучения астрономии они различны. Кажется,что-то вроде этого отписал Вам Someone.

То, что написал Someone, я прекрасно понимаю. От Вас же мне нужно только одно: возможность проверить являются ли элементы первого множества элементами второго, и элементы второго множества элементами первого. А моё ощущение, что Ваши элементы Ваших множеств не вполне определены. Например, берем какой-нибудь астероид, расположенный так, что Земля находится между этим астероидом и Солнцем. Астероид входит в "земное" множество, а вот в "солнечное" вроде бы нет? И вообще можно ли было бы переехать поближе? Мы же пытаемся что-то понять, а не задурить друг другу голову.

[Виктор Викторов]

"Аксиома ($D_1$) называется аксиомой объемности. Она утверждает, что два множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы." Е.Расёва, Р.Сикорский. Математика метаматематики. "Наука", Москва, 1972. Глава V, §13, стр. 230.

Someone в сообщении #368150 писал(а):

Смысл отношения равенства состоит в том, что равные объекты полностью взаимозаменяемы в данной теории.

Так "взаимозаменяемы в данной теории" или "когда у них одни и те же элементы"? Это одно и то же множество или нет? Провокационный пример: рассмотрим все континуальные подмножества вещественных чисел с топологией, индуцированной числовой прямой. Среди них есть гомеоморфные (множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$) и не гомеоморфные ($(3, 18)$ и множество, состоящее из двух интервалов $(3, 18)$ и $(1, 2)$). Могу ли я называть в рамках этого примера множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$ равными?

[Lyosha]

Виктор Викторов в сообщении #368169 писал(а):

А моё ощущение, что Ваши элементы Ваших множеств не вполне определены. Например, берем какой-нибудь астероид, расположенный так, что Земля находится между этим астероидом и Солнцем. Астероид входит в "земное" множество, а вот в "солнечное" вроде бы нет?

Астероид в "земное" множество как раз и не входит,ибо его расстояние от центра Солнца и,что то же самое согласно моим упрощениям,центра орбиты Земли больше $R_v$.Разве раньше я не дал достаточно ясного определения рассматриваемым множествам?

[Droog_Andrey]

Не следует путать само множество и способ его задания.

[Lyosha]

Виктор Викторов в сообщении #368175 писал(а):

Могу ли я называть в рамках этого примера множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$ равными?

Нет,согласно Вами же приведённой аксиоме объёмности.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #368175 писал(а):

"Аксиома ($D_1$) называется аксиомой объемности. Она утверждает, что два множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы." Е.Расёва, Р.Сикорский. Математика метаматематики. "Наука", Москва, 1972. Глава V, §13, стр. 230.

Я просил посмотреть аксиомы равенства. Ладно, приведу их здесь - и для других интересующихся вопросом.

$(e'_1)$ Рефлексивность:

$$(x=x)\text{.}$$

$(e'_2)$ Симметричность:

$$((x=y)\Rightarrow(y=x))\text{.}$$

$(e'_3)$ Транзитивность:

$$((x=y)\Rightarrow((y=z)\Rightarrow(x=z)))\text{.}$$

$(e'_4)$ Если $\varphi$ - $m$-местный функтор ($m=1,2,\ldots$), то

$$((x_1=y_1)\Rightarrow((x_2=y_2)\Rightarrow(\ldots(x_m=y_m)\Rightarrow(\varphi(x_1,x_2,\ldots,x_m)=\varphi(y_1,y_2,\ldots,y_m))\ldots)))\text{.}$$

($e'_5$) Если $\rho$ - $m$-местный предикат ($m=1,2,\ldots$), то

$$((x_1=y_1)\Rightarrow((x_2=y_2)\Rightarrow(\ldots(x_m=y_m)\Rightarrow(\rho(x_1,x_2,\ldots,x_m)=\rho(y_1,y_2,\ldots,y_m))\ldots)))\text{.}$$

Аксиомы (точнее, схемы аксиом) $(e'_4)$ и $(e'_5)$ формализуют то, что я называл словом "взаимозаменяемы".

В случае теории множеств, помимо равенства, имеется только один "первичный" предикат ("является элементом"), и нет никаких "первичных" функторов, поэтому схемы $(e'_4)$ и $(e'_5)$ сводятся к одной аксиоме

$$((x_1=y_1)\Rightarrow((x_2=y_2)\Rightarrow((x_1\in x_2)\Rightarrow(y_1\in y_2))))\text{.}$$

Из неё, например, следует, что
1) если $x=y$ и $x\in z$, то $y\in z$ и
2) если $x=y$ и $z\in x$, то $z\in y$.

Аксиома объёмности формулируется так:

$$(\bigcap_{\xi}((\xi\in x)\Leftrightarrow(\xi\in y))\Rightarrow(x=y))$$

(в этой книге "$\bigcap\limits_{\xi}$" используется вместо "$\forall\xi$").
Имея в виду утверждение 2) и эту аксиому, и говорят "множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы", причём, "одни и те же" означает всего лишь "соответственно равные".
Вообще, мне кажется, что интуитивное понятие "один и тот же объект" нельзя полностью формализовать, как нельзя полностью формализовать интуитивное понятие "конечное множество".

Виктор Викторов в сообщении #368175 писал(а):

Так "взаимозаменяемы в данной теории" или "когда у них одни и те же элементы"? Это одно и то же множество или нет? Провокационный пример: рассмотрим все континуальные подмножества вещественных чисел с топологией, индуцированной числовой прямой. Среди них есть гомеоморфные (множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$) и не гомеоморфные ($(3, 18)$ и множество, состоящее из двух интервалов $(3, 18)$ и $(1, 2)$). Могу ли я называть в рамках этого примера множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$ равными?

Нет, не можете. Если Вы рассмотрите высказывание $0\in x$ и замените в нём свободную переменную $x$ в одном случае константой $\mathbb R$ (именем множества действительных чисел), а в другом случае - именем интервала $(3, 18)$, то в первом случае Вы получите истинное высказывание, а во втором - ложное, что противоречит приведённому выше утверждению 2), вытекающему из аксиом равенства.

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #368280 писал(а):

Из неё, например, следует, что
1) если $x=y$ и $x\in z$, то $y\in z$ и
2) если $x=y$ и $z\in x$, то $z\in y$.

Аксиома объёмности формулируется так:

$$(\bigcap_{\xi}((\xi\in x)\Leftrightarrow(\xi\in y))\Rightarrow(x=y))$$

(в этой книге "$\bigcap\limits_{\xi}$" используется вместо "$\forall\xi$").
Имея в виду утверждение 2) и эту аксиому, и говорят "множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы", причём, "одни и те же" означает всего лишь "соответственно равные".
Вообще, мне кажется, что интуитивное понятие "один и тот же объект" нельзя полностью формализовать

Я, кажется, начинаю что-то понимать. Не нужно понимать слова "одни и те же" буквально, а только как следствие из аксиом. В этом смысле Ваше "взаимозаменяемы" аккуратнее. Разверните, пожалуйста, слова "...мне кажется, что интуитивное понятие "один и тот же объект" нельзя полностью формализовать". С интересом жду Вашей реакции на пятую страницу книги Френкеля.

Someone в сообщении #368280 писал(а):

... нельзя полностью формализовать интуитивное понятие "конечное множество".

В той же книге Френкеля на странице 29: "a set $F$ finite if the existence of mapping of $F$ onto a subset $F'$ of $F$ implies $F'=F$."

(Оффтоп)

Lyosha в сообщении #368268 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #368169 писал(а):

А моё ощущение, что Ваши элементы Ваших множеств не вполне определены. Например, берем какой-нибудь астероид, расположенный так, что Земля находится между этим астероидом и Солнцем. Астероид входит в "земное" множество, а вот в "солнечное" вроде бы нет?

Астероид в "земное" множество как раз и не входит,ибо его расстояние от центра Солнца и,что то же самое согласно моим упрощениям,центра орбиты Земли больше $R_v$.Разве раньше я не дал достаточно ясного определения рассматриваемым множествам?

Lyosha! Я старый человек и мне бегать по галактике; кости болят.

Lyosha в сообщении #368279 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #368175 писал(а):

Могу ли я называть в рамках этого примера множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$ равными?

Нет,согласно Вами же приведённой аксиоме объёмности.

Я и написал, что это провокация. Это, конечно, эквивалентность.

Droog_Andrey в сообщении #368270 писал(а):

Не следует путать само множество и способ его задания.

С этим лозунгом - на баррикады!

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #368351 писал(а):

Разверните, пожалуйста, слова "...мне кажется, что интуитивное понятие "один и тот же объект" нельзя полностью формализовать".

Ну, формализация интуитивных понятий - дело вообще тёмное. Но у меня соображения такие. Пусть имеется какая-нибудь теория с каким угодно набором аксиом, только непротиворечивая и потому имеющая модель. "Раздвоим" все объекты модели, считая, например, объектами теории не элементы модели, а упорядоченные пары $(x,\alpha)$ и $(x,\beta)$, причём, $(((x,\alpha)=(y,\beta))\Leftrightarrow(x=y))$, где $x,y$ - элементы теории, а $\alpha$ и $\beta$ - некие метки, доступные нам (в метатеории), но недоступные в (предметной) теории просто в силу определения равенства.

Виктор Викторов в сообщении #368351 писал(а):

С интересом жду Вашей реакции на пятую страницу книги Френкеля.

Мне кажется, что я на неё уже отреагировал. Давая определения множествам $D$ и $F$, мы, вообще говоря, можем не знать, что эти определения эквивалентны, и что на самом деле $D=F$. Пока эквивалентность определений не доказана, мы не можем делать каких-либо обоснованных выводов из этого равенства, и если это равенство нам для чего-то понадобилось, то должны явно указывать это предположение (например:
Теорема ($[V=L]$). Для каждого бесконечного кардинала $\tau$ выполняется $2^{\tau}=\tau^+$).
А когда равенство $D=F$ будет доказано, мы будем знать, что определения эквивалентны, а $D$ и $F$ - два имени одного и того же множества.

Виктор Викторов в сообщении #368351 писал(а):

Someone в сообщении #368280 писал(а):

... нельзя полностью формализовать интуитивное понятие "конечное множество".

В той же книге Френкеля на странице 29: "a set $F$ finite if the existence of mapping of $F$ onto a subset $F'$ of $F$ implies $F'=F$."

Это просто определение конечного множества (если не ошибаюсь, принадлежащее Дедекинду; кроме того, здесь, вероятно, имелось в виду взаимно однозначное отображение или ещё какое-то условие, иначе непонятно, что делать с постоянным отображением $F\to F'=\{x_0\}$, $x_0\in F$).
Существует другое определение, которому в настоящее время отдают предпочтение: множество конечно, если оно равномощно отрезку натурального ряда (пустой отрезок тоже допустим; имеется в виду стандартная модель натурального ряда, определяемая в теории множеств).
Оба определения равносильны, если справедлива аксиома выбора (хотя бы счётная), но без аксиомы выбора возможны конечные в смысле Дедекинда множества, которые не равномощны никакому отрезку натурального ряда. Это выглядит очень занятно: в множестве можно найти сколько угодно попарно различных элементов, но составить из них бесконечную последовательность нельзя.

Но я имел в виду другое. К сожалению, я не могу вспомнить, где я об этом читал, и подробностей тоже не помню. Смысл, если не ошибаюсь, состоял в том, что для любого набора аксиом, определяющих конечные множества в некоторой модели, можно построить другую модель, в которой выполняются те же аксиомы, но некоторые "конечные" множества оказываются бесконечными.
Например, арифметика Пеано равносильна теории, полученной из $ZFC$ заменой аксиомы бесконечности её отрицанием и добавлением схемы аксиом индукции. Все множества в этой теории конечны. Однако известно, что арифметика имеет нестандартные (даже несчётные) модели, в которых есть "бесконечные" натуральные числа.