Конструктивность действительных чисел

[epros]

Егор писал(а):

epros писал(а):

Ну ладно, если охота ещё определять что такое "точность" числа, то пожалуйста. Но вообще-то как я понимаю, это то же самое, что вычислить любую цифру.

В том-то и дело, что не то же самое! Вычислить действительное число $x$ с точностью $\varepsilon$ -- значит найти такое рациональное $q$, что $|x-q|<\varepsilon$. Можем уметь вычислять $x$ с любой точностью, но не знать даже первую его цифру (см. выше пример, связанный с задачей о нечётных совершенных числах).

А-аа, понял.

Егор писал(а):

Вот подробное рассуждение для суммы чисел в двоичной записи. Пусть $a$ и $b$ заданы как двоичные дроби, и пусть известно, что их сумма $x=a+b$ иррациональна. Покажем, что можно вычислить целую часть $x$ (аналогично и любую цифру). Раскладывая $a$ и $b$ до первой цифры после запятой, получим, например: $a=0.1\ldots$, $b=0.0\ldots$, т. е.

$$ 0.1\le a\le 1.0,\quad 0.0\le b\le 0.1. $$

Отсюда

$$ 0.1\le x\le 1.1. $$

На первом шаге мы не смогли узнать целую часть $x$. Такая "плохая" ситуация может сохраниться и на втором шаге:

$$ 0.11\le x\le 1.01. $$

Предположим, что "плохая" ситуация будет всегда: левое приближение $<1$, правое приближение $>1$. Но тогда $x=1$, что противоречит условию. Значит, либо на некотором шаге либо левое приближение станет $\ge 1$, и тогда $\lfloor x\rfloor=1$, либо правое приближение станет $\le1$, и тогда $\lfloor x\rfloor=0$ (случай $x=1$ исключаем, так как $x$ иррационально).

"Плохая" ситуация соответствует случаю 2 по Вашей классификации (у одного слагаемого цифра 1, у другого - 0), "хорошие ситуации" - случаям 3 и 1.

Как я понял, в итоге конструктивность суммы доказывается из предположения её иррациональности? А всегда ли можно заранее знать, что сумма иррациональна?

[Егор]

epros писал(а):

Как я понял, в итоге конструктивность суммы доказывается из предположения её иррациональности?

Да, только не конструктивность, а большее - вычислимость цифр. Настоящее понятие конструктивности (возможность вычислить с любой точностью) тем и хорошо, что для любых КДЧ сумма тоже есть КДЧ. А для двоичных дробей, как уже было отмечено выше, общего алгоритма сложения не существует (это доказано), и цифры суммы можно вычислить только при каких-то дополнительных предположениях.

Повторю пример, когда числа $x$ и $y$ заданы в виде двоичных дробей, а для разности $x-y$ неизвестна даже целая часть. Пусть $x$ равно $1$ и записано в двоичной системе как $1.(0)$ (нуль в периоде). Число $y$ построим так: $k$-я цифра равна $1$, если $2k+1$ совершенное, иначе равна $0$. Любую цифру числа $y$ можно вычислить, но неизвестно, все ли цифры нулевые. Поэтому неизвестно, будет ли $x-y=1$ или $x-y<1$.

Наверное, можно придумать похожий пример и для суммы.

[epros]

Cпасибо. Что мне нравится в этом форуме - что в итоге получаешь конкретный ответ на свой вопрос