2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение17.10.2006, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Егор писал(а):
epros писал(а):
Ну ладно, если охота ещё определять что такое "точность" числа, то пожалуйста. Но вообще-то как я понимаю, это то же самое, что вычислить любую цифру.

:evil: В том-то и дело, что не то же самое! Вычислить действительное число $x$ с точностью $\varepsilon$ -- значит найти такое рациональное $q$, что $|x-q|<\varepsilon$. Можем уметь вычислять $x$ с любой точностью, но не знать даже первую его цифру (см. выше пример, связанный с задачей о нечётных совершенных числах).

А-аа, понял.

Егор писал(а):
Вот подробное рассуждение для суммы чисел в двоичной записи. Пусть $a$ и $b$ заданы как двоичные дроби, и пусть известно, что их сумма $x=a+b$ иррациональна. Покажем, что можно вычислить целую часть $x$ (аналогично и любую цифру). Раскладывая $a$ и $b$ до первой цифры после запятой, получим, например: $a=0.1\ldots$, $b=0.0\ldots$, т. е.
$$
0.1\le a\le 1.0,\quad 0.0\le b\le 0.1.
$$
Отсюда
$$
0.1\le x\le 1.1.
$$
На первом шаге мы не смогли узнать целую часть $x$. Такая "плохая" ситуация может сохраниться и на втором шаге:
$$
0.11\le x\le 1.01.
$$
Предположим, что "плохая" ситуация будет всегда: левое приближение $<1$, правое приближение $>1$. Но тогда $x=1$, что противоречит условию. Значит, либо на некотором шаге либо левое приближение станет $\ge 1$, и тогда $\lfloor x\rfloor=1$, либо правое приближение станет $\le1$, и тогда $\lfloor x\rfloor=0$ (случай $x=1$ исключаем, так как $x$ иррационально).

"Плохая" ситуация соответствует случаю 2 по Вашей классификации (у одного слагаемого цифра 1, у другого - 0), "хорошие ситуации" - случаям 3 и 1.

Как я понял, в итоге конструктивность суммы доказывается из предположения её иррациональности? А всегда ли можно заранее знать, что сумма иррациональна?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2006, 22:01 


22/06/05
164
epros писал(а):
Как я понял, в итоге конструктивность суммы доказывается из предположения её иррациональности?

Да, только не конструктивность, а большее - вычислимость цифр. Настоящее понятие конструктивности (возможность вычислить с любой точностью) тем и хорошо, что для любых КДЧ сумма тоже есть КДЧ. А для двоичных дробей, как уже было отмечено выше, общего алгоритма сложения не существует (это доказано), и цифры суммы можно вычислить только при каких-то дополнительных предположениях.

Повторю пример, когда числа $x$ и $y$ заданы в виде двоичных дробей, а для разности $x-y$ неизвестна даже целая часть. Пусть $x$ равно $1$ и записано в двоичной системе как $1.(0)$ (нуль в периоде). Число $y$ построим так: $k$-я цифра равна $1$, если $2k+1$ совершенное, иначе равна $0$. Любую цифру числа $y$ можно вычислить, но неизвестно, все ли цифры нулевые. Поэтому неизвестно, будет ли $x-y=1$ или $x-y<1$.

Наверное, можно придумать похожий пример и для суммы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2006, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Cпасибо. Что мне нравится в этом форуме - что в итоге получаешь конкретный ответ на свой вопрос :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group