Эта тема расписана, к примеру, в
учебнике Кушнера. Попробую написать краткий конспект.
Термины "целое число", "рациональное число", "последовательность" будем всюду понимать конструктивно: целые и рациональные числа задаются как двоичные или десятичные записи, последовательности - как алгоритмы (машины Тьюринга).
Если

- целое число,

, то назовём
-ичными дробями выражения вида
![\[m+\sum_{n=1}^\infty\frac{a(n)}{r^n}\] \[m+\sum_{n=1}^\infty\frac{a(n)}{r^n}\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/2/452dd1366304b8ee3746eed97f1e006582.png)
,
где

- целое число,

- последовательность целых чисел, причём

для любого натурального

.
Конечно,

-ичные дроби являются примерами конструктивных действительных чисел (КДЧ), но
совершенно не годятся на роль
всех КДЧ.
Во-первых, при любом целом основании

,

,
не существует алгоритма сложения конструктивных

-ичных дробей.
Во-вторых, алгоритм перевода из

-чных в

-чные дроби существует только тогда, когда каждый простой делитель

является простым делителем

(теорема Мостовского-Успенского). Например, существует алгоритм для перевода десятичных дробей в двоичные, но не существует алгоритма для перевода двоичных дробей в десятичные.
Естественно определять КДЧ как фундаментальные последовательности рациональных чисел с конструктивными регуляторами фундаментальности.
Более формально. Конструктивным действительным числом назовём пару

, где

и

- алгоритмы, определённые для любого натурального входа, причём

рационально для любого натурального

,

натурально для любого натурального

и
Имеется много определений КДЧ, равносильных этому. Для КДЧ нетрудно определить арифметические операции и отношения больше-меньше-равно. При этом существуют алгоритмы для операций сложения и умножения, но не существует алгоритма для сравнения. Кроме того, разные пары алгоритмов

,

могут порождать равные КДЧ.
Для любого натурального

,

, существует алгоритм перевода

-ичной дроби в КДЧ, но не существует обратного алгоритма.