Парадокс неожиданной казни

[Droog_Andrey]

Не нужно путать информацию о возможности происхождения события и о происхождении события.

Для Пети нет совершенно никакой разницы, убьют Васю или Колю. Поэтому никакой новой информации о своей судьбе он от охранника не получает.

Вот если бы предварительная информация о Васе и Коле у Пети различалась, тогда новая информация поступила бы.

Лукомор в сообщении #367541 писал(а):

И это красиво иллюстрирует объективный характер вероятности.

В объективной реальности события либо происходят, либо нет. То есть $\forall A: P(A) \in \{0,1\}$. Иного не дано.

А промежуточные значения вероятности событий $P(A) \notin \{0,1\}$ возникают при построении субъектом модели реальности и зависят от того, какая информация о событии включена субъектом в модель, а какая - нет.

Стремясь к работоспособности модели, субъект достигает некоторого соответствия между своими значениями вероятностей и объективно наблюдаемыми событиями с помощью статистики. Отсюда иллюзия объективности этих значений вероятности.

На самом деле объективно не само значение вероятности, а информация, взятая из реальности для построения модели, давшей это значение.

[Виктор Викторов]

Droog_Andrey в сообщении #367734 писал(а):

Не нужно путать информацию о возможности происхождения события и о происхождении события.

Для Пети нет совершенно никакой разницы, убьют Васю или Колю. Поэтому никакой новой информации он от охранника не получает.

Ещё раз: ситуация 1 описывается тремя парами (В, П), (В, К) и (П, К). Каждой из пар приписана равная вероятность $1/3$. Ситуация 2 описывается двумя парами (В, К) и (П, К). Так, есть различие между ситуацией 1 и ситуацией 2 или нет?

[Droog_Andrey]

Фишка в том, что после казни Коли жребий заново не бросают.

Помните задачку с призом? Ведущий игроку показывает три чёрных ящика, ровно в одном из которых приз, и предлагает выбрать ящик. После того, как выбор сделан, ведущий открывает один из двух оставшихся ящиков, который пуст, и предлагает игроку либо остановиться на прежнем выборе, либо сменить его на второй закрытый ящик.

Очевидно, в целях увеличения вероятности выигрыша следует изменить выбор, т.к. в этом случае вероятность выигрыша повышается с $1/3$ до $2/3$.

Тот факт, что после убийства Коли жребий заново не бросают, равносилен отсутствию смены выбора ящика.

Если задачка с ящиками оставляет сомнения, представьте утрированный случай: ставят $100$ ящиков, предлагают сделать выбор, затем открывают $98$ пустых из $99$ оставшихся и предлагают выбор изменить. Очевидно, его нужно менять!

[Виктор Викторов]

Droog_Andrey в сообщении #367756 писал(а):

Фишка в том, что после казни Коли жребий заново не бросают.

Я плохо разбираюсь в теории вероятностей. И поэтому толком спорить не могу. Но существуют три и только три возможности и это одна история. После информации, озвученной охранником, есть лишь две и только две возможности. Я не берусь подсчитывать вероятности в этом случае (именно это я и хотел бы получить от кого-нибудь), но различие двух ситуаций, если рассматривать пары, очевидно.

[Droog_Andrey]

Ситуации различны, но во втором случае возможности не равновероятны.

Вот как должен был бы рассуждать Петя до вопроса охраннику:

Цитата:

Вариант $1$, вероятность $1/3$. Милуют меня. Тогда, если я спрошу у охранника, кого казнят, он назовёт наугад одного из двух.
Вариант $2$, вероятность $1/3$. Милуют Васю. Тогда охранник точно назовёт Колю.
Вариант $3$, вероятность $1/3$. Милуют Колю. Тогда охранник точно назовёт Васю.

И вот как - после получения ответа:

Цитата:

Охранник всё-таки назвал Колю. При условии Варианта $2$ это было вдвое вероятнее, чем при условии Варианта $1$, поэтому вероятность Варианта $2$ теперь вдвое выше вероятности Варианта $1$. Поскольку Вариант $3$ уже исключён, вероятности Вариантов $1$ и $2$ стали равны соответственно $1/3$ и $2/3$, и, таким образом, вероятность того, что меня помилуют, не изменилась. Зато теперь я могу обрадовать Васю: ведь охранник не думал, что я могу ему проболтаться

[Виктор Викторов]

Давайте рассмотрим упорядоченные пары (теперь важна и очередность, в которой казнят). Будет шесть пар. Если информация про Колю отсутствует, то у Пети $2/3=8/12$ вероятность выжить в первом туре и $1/2$ во втором (если он выжил в первом). Если же точно известно, что Коле из переделки живым не выйти, то вероятность Пети выжить в первом туре $3/4=9/12$, а во втором (если он выжил в первом) опять $1/2$. Поэтому когда я написал "информация у Пети не изменилась" я был не прав. Петины шансы выжить повысились при моем варианте расчета на $1/12$, а по варианту Nxx на 0.584963 бит.

[venco]

Вы опять не учитываете, что после информации про Петю оставшиеся варианты не равновероятны.

[Droog_Andrey]

От охранника Петя получил ровно $1$ бит информации, т.к. оба возможных ответа охранника ("казнят Колю" и "казнят Васю") были равновероятны. Но эта информация касается исключительно судьбы Коли ($-\log_2\frac23$ бит) и Васи ($-\log_2\frac34$ бит).

[Nxx]

Droog_Andrey в сообщении #367863 писал(а):

От охранника Петя получил ровно $1$ бит информации, т.к. оба возможных ответа охранника ("казнят Колю" и "казнят Васю") были равновероятны.

Не учитываете, что был и третий равновероятный вариант - казнят обоих - и Васю, и Колю. Было три равновероятных варианта, осталось два равновероятных варианта. Была неопределенность 1 трит, стала 1 бит. Полученная информация равна уменьшению неопределенности, то есть, 1 трит минус 1 бит. То есть, примерно 0.584963 бит.

[Droog_Andrey]

Nxx, охранник не мог ответить "казнят и Васю, и Колю". См. выше.

[Лукомор]

venco в сообщении #367634 писал(а):

Исходные равновероятные варианты: (В, П), (К, П) и (В, К).
В случае (В, П) охранник точно назовёт (В).
В случае (К, П) охранник точно назовёт (К).
Априори для Пети в случае (В, К) охранник назовёт (К) с вероятностью $\frac 1 2$.
Тогда по формулам условной вероятности по прежнему $P(\text{(К, П)}) = \frac 2 3$

Проверяем:
Должно произойти ровно одно из трёх равновероятных событий:
$P(\text{(В, П)}) = \frac 1 3$
$P(\text{(К, П)}) = \frac 1 3$
$P(\text{(В, К)}) = \frac 1 3$
При этом:
$P(\text{(В)}) = \frac 2 3$
$P(\text{(К)}) = \frac 2 3$
$P(\text{(П)}) = \frac 2 3$
Теперь мы получили дополнительное условие:
$P(\text{(К)}) =1$
Найдём условные вероятности:
$P(\text{(В, П)}/\text{(К)}) = 0$
$P(\text{(К, П)}/\text{(К)}) = \frac 1 2$
$P(\text{(В, К)}/\text{(К)}) = \frac 1 2$

[venco]

Лукомор в сообщении #367976 писал(а):

Проверяем:

Вы что-то не то посчитали.

Обозначим $\text{ВП}$, $\text{КП}$ и $\text{ВК}$ события, кого выбрали на казнь:
$P(\text{ВП}) = \frac13$
$P(\text{КП}) = \frac13$
$P(\text{ВК}) = \frac13$
Обозначим $\text{нК}$ событие, что назвали Колю:
$P(\text{нК}|\text{ВП}) = 0$
$P(\text{нК}|\text{КП}) = 1$
$P(\text{нК}|\text{ВК}) = \frac12$

Тогда:
$P(\text{нК}\cap\text{ВП})=P(\text{нК}|\text{ВП})P(\text{ВП})=0$
$P(\text{нК}\cap\text{КП})=P(\text{нК}|\text{КП})P(\text{КП})=\frac13$
$P(\text{нК}\cap\text{ВК})=P(\text{нК}|\text{ВК})P(\text{ВК})=\frac16$

$P(\text{нК})=P(\text{нК}|\text{ВП})P(\text{ВП})+P(\text{нК}|\text{КП})P(\text{КП})+P(\text{нК}|\text{ВК})P(\text{ВК})=\frac12$

$P(\text{ВП}|\text{нК})=\frac{P(\text{нК}\cap\text{ВП})}{P(\text{нК})}=0$
$P(\text{КП}|\text{нК})=\frac{P(\text{нК}\cap\text{КП})}{P(\text{нК})}=\frac23$
$P(\text{ВК}|\text{нК})=\frac{P(\text{нК}\cap\text{ВК})}{P(\text{нК})}=\frac13$

Обозначим $\text{П}$ событие, что Петю казнят: $\text{П}=\text{ВП}\cup\text{КП}$.
Значит:
$P(\text{П}|\text{нК})=P(\text{ВП}|\text{нК})+P(\text{КП}|\text{нК})=\frac23$

[Nxx]

Droog_Andrey в сообщении #367902 писал(а):

Nxx, охранник не мог ответить "казнят и Васю, и Колю". См. выше.

Охранник мог сказать "Казнят Колю" или "Казнят Васю". Оба варианта не исключают случая, что их казнят обоих. Ну нельзя же так тупить.

[Droog_Andrey]

Nxx в сообщении #368026 писал(а):

Droog_Andrey в сообщении #367902 писал(а):

Nxx, охранник не мог ответить "казнят и Васю, и Колю". См. выше.

Охранник мог сказать "Казнят Колю" или "Казнят Васю". Оба варианта не исключают случая, что их казнят обоих. Ну нельзя же так тупить.

Вы путаете события "решено, что казнят Колю" и "охранник сообщил, что казнят Колю". А также прочие пары событий "решено, что $A$" и "охранник сообщил, что $A$".

При этом хамите и игнорируете аргументы и подробные разъяснения.

Недостойно, я считаю.

[Кардановский]

Попробую представить свою версию. Начальник тюрьмы заранее предположил,что преступник,рассудив по той логике,которая изложена выше (я не буду сейчас разбирать здесь ее правильность или дефектность) ,придет к выводу ,что его на следующей неделе казнить ну никак не могут,не нарушая обещанную начальником неожиданность дня казни. Таким образом,начальник тюрьмы,был уверен,что преступник после своих таких логических умозаключений,пребывает в полной уверенности,что его не казнят ни в один из дней недели. Прислав же палача к преступнику в среду,начальник тюрьмы поступил не по логике преступника (ведь честный начальник не обещал преступнику поступать ПО ЕГО ЛОГИКЕ ИЛИ ПО ЛОГИКЕ ВООБЩЕ!),следовательно,начальник тюрьмы сдержал свое обещание сделать сюрприз (ведь преступник то НЕ ОЖИДАЛ этого,значит СЮРПРИЗ СОСТОЯЛСЯ!) В итоге, честнейший начальник тюрьмы и на этот раз выполнил все свои обещания,не соврав ни на йоту! Суть решения этого "парадокса" в том,что люди (впрочем,как и животные тоже) могут поступать как ЛОГИЧНО,так и НЕЛОГИЧНО, в зависимости от обстоятельств,а логичные поступки людей(даже у математиков!) в реальной жизни всегда перемежаются с нелогичными...