Эйлерова характеристика поверхности

[paha]

чтобы эйлерова характеристика равнялась единице

[maxmatem]

как то странно.... мы подгоняем$ \[ x = 1 + \frac{{3m}} {2} - m = 1 + \frac{m} {2} \] $.
Значит мы заранее уже знаем что э.х той или иной поверхности равна тому -то чему-то. И кол-во вершин просто выражаем из соответствующего равенства?

[paha]

а у тора эйлерова характеристика равна нулю, поэтому $q_0=q_1-q_2$

вообще, если триангуляция поверхности $M$ такая как описано выше и содержит $m$ 2-симплексов, то 1-симплексов $3m/2$, а 0-симплексов $\chi(M)+m/2$

[maxmatem]

тогда понятно.

[paha]

maxmatem в сообщении #367836 писал(а):

Значит мы заранее уже знаем что э.х той или иной поверхности равна тому -то чему-то. И кол-во вершин просто выражаем из соответствующего равенства?

да нет же... Мы эйлерову характеристику вычисляем исходя из триангуляции... а триангуляция -- какая получится

просто я, уже зная про значение э.х. могу заранее сказать сколько вершин получится... а Вы мне можете не поверить и попытаться построить триангуляцию с другим количеством вершин при данном количестве 2-симплексов

[maxmatem]

А где про это можно более глубоко почитать? кроме как в Александров П.С "Комбинаторная топология". можно на английском.

[paha]

maxmatem в сообщении #367841 писал(а):

А где про это можно более глубоко почитать?

я уж Вам так глубоко объяснил)))

впрочем, вот книжка
Прасолов В.В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии -- есть в свободном доступе

[Someone]

maxmatem, у меня впечатление, что Вы либо не хотите, либо не понимаете, как нарисовать картинку. А на картинке Вы бы увидели, сколько в триангуляции получается граней, сколько - рёбер, сколько - вершин.
Ну давайте возьмем квадрат, разобьём его на 9 квадратов, а каждый квадрат разделим диагональю на два треугольника. Получится 18 треугольников. Они образуют триангуляцию квадрата.
Теперь склеим из этого квадрата тор. Для этого нужно отождествить противоположные стороны квадрата, сохраняя их направления. При этом некоторые рёбра и вершины триангуляции тоже отождествятся, и их станет меньше. Например, все 4 вершины квадрата склеятся в одну вершину. Перенумеруйте на рисунке рёбра и вершины, не забывая, что отождествлённые рёбра и вершины должны иметь одинаковые номера. И Вам всё будет ясно. Если Вы не ошибётесь в подсчёте рёбер и вершин, то Вы найдёте эйлерову характеристику тора.
Можно склеить и проективную плоскость. Для этого нужно одну пару противоположных сторон квадрата склеить, сохраняя их направления, а в другой паре одну из сторон перевернуть (как при склейке листа Мёбиуса).

[maxmatem]

Я знаю как нарисовать.И до того как написать сюда сообщение я естественно знал, какая эйлерова характеристика, должна быть у тора и проективной пл-ти, сферы. Я не раз рисовал квадрат и проводил в нём простенькую триангуляцию. Меня интересовал вопрос , об $m$, треугольников в триангуляции, на который я получил ответ. Но всё равно вам спасибо.