Ряд из arctg(arctg(...(arctg(t)...)^a

[PreVory]

$x_1=arctg(t), x_n_+_1=arctg(x_n), n>=1$ t конечно не равен нулю
При каких a ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n^a$ сходится?

Нашёл на форуме такую же задачу topic927.html
Там сказано:надо показать, что x_n одного порядка стремления к нулю с $\frac 1 {\sqrt n}$, то есть что есть такие положительные константы M и m, что $\frac m {\sqrt n}<x_n<\frac M {\sqrt n}$.
С виду то это верно, но доказать не получается.
Подскажите как это можно доказать, или, может быть надо использовать другие идеи?

[zhoraster]

Тема перемещена из Помогите решить/разобраться (М) в Карантин по следующим причинам:
- формулы надо набирать в нотации $\TeX$. Как это делать, можно посмотреть в теме Краткий ФАК по тегу [math];

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Возвращаю

[RIP]

http://dxdy.ru/topic24308.html

[Padawan]

Я где-то на форуме писал про способ решения подобных задач, не могу найти. Суть в следующем: сделать замену $x=\frac{1}{x'^s}, y=\frac{1}{y'^s}$, где число $s>0$ надо подобрать так, чтобы линия $y=\arctg x, x\to+0$ перешла в линию, $y'=\varphi(x'), x'\to+\infty$, имеющую асимптоту $y'=x'+C$. В этих координатах видно, что $x'_n\approx Cn$. Потом обратной заменой переходишь к $x$. Получается $x_n\approx\frac{1}{(Cn)^s}$.

[RIP]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #367859 писал(а):

Я где-то на форуме писал про способ решения подобных задач, не могу найти.

http://dxdy.ru/post309066.html#p309066

[ewert]

Во-первых, как степенное поведение вывести. Ищем асимптотику вида $x_n\sim Cn^{-\alpha}$:

$C(n+1)^{-\alpha}\sim\arctg(Cn^{-\alpha})\sim Cn^{-\alpha}-\dfrac{C^3n^{-3\alpha}}{3}\;;$

$Cn^{-\alpha}(1-\alpha n^{-1})\sim Cn^{-\alpha}-\dfrac{C^3n^{-3\alpha}}{3}\;;$

$\alpha=\dfrac12,\quad C\alpha=\dfrac{C^3}{3},\quad C=\sqrt{\dfrac32},$

Т.е. $x_n\sim\sqrt{\frac32}n^{-1/2}$. Поскольку нам нужна не асимптотика, а лишь двусторонние оценки, огрубим, например, до $n^{-1/2}<x_n<2n^{-1/2}$, и доказываем по индукции. Например, сверху:

$x_{n+1}=\arctg x_n<\arctg 2n^{-1/2}<2n^{-1/2}-\dfrac{8+\varepsilon}{3}n^{-3/2}<2(n+1)^{-1/2}$

(последний переход прост, т.к. неравенство достаточно сильно загрублено). Во всяком случае, для всех достаточно больших $n$.

Снизу -- аналогично. А уточняя оценки, можно при желании и саму асимптотику вытянуть.