Парадокс неожиданной казни

[hurtsy]

AndreyXYZ в сообщении #190507 писал(а):

Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: «В воскресенье меня казнить не могут! Ведь тогда уже в полдень субботы я буду знать об этом. А по словам начальника я не буду знать день своей казни. Следовательно последний возможный день моей казни — суббота. Но если меня не казнят в пятницу, то я буду заранее знать что меня казнят в субботу, значит и ее можно исключить.» Последовательно исключив пятницу, четверг, среду, вторник и понедельник преступник пришел к выводу, что начальник не сможет его казнить выполнив все свои слова.
На следующей неделе, палач постучал в его дверь в полдень в среду — это было для него полной неожиданностью. Все, что начальник тюрьмы сказал, осуществилось. Где недостаток в рассуждении заключенного?

Заключенный, повидимому, не знает что такое условная вероятность. В воскресенье его не казнят только при условии, что произойдет следующее очень маловероятное событие, его не казнили в понедельник и не казнили во вторник и т.д. С уважением,

[jetyb]

Напомнило парадокс.
Сидят в тюрьме Вася, Петя и Коля. Входит охранник и говорит, что двух из них приговорили к смертной казни. Приговор окончательный, изменению не подлежит и от зеков не зависит. Но чтобы оставить надежду никому не говорится, казнят его или помилуют.
Вероятность спастись у каждого зека 1/3, но хитрый Петя, подозвав охранника шепнул ему: "При любом раскладе один из двух, или Вася, или Коля умрет. Кто из них умрет точно? Я могу это знать, ведь эта информация не определяет мой приговор". Охранник по большому секрету говорит, что Коля умрет точно.
Теперь Пете известно, что либо его, либо Васю помилуют.
И вероятность спастись у него увеличилась с 1/3 до 1/2

[hurtsy]

jetyb в сообщении #367399 писал(а):

Напомнило парадокс.

Не-а. Это тоже не парадокс. Однако, С.Лукьяненко использовал эту идею в "Недотепе". Популярная идея. С уважением,

[Droog_Andrey]

Этот "парадокс" красиво иллюстрирует субъективность вероятности

[Виктор Викторов]

jetyb в сообщении #367399 писал(а):

Сидят в тюрьме Вася, Петя и Коля. Входит охранник и говорит, что двух из них приговорили к смертной казни. Приговор окончательный, изменению не подлежит и от зеков не зависит. Но чтобы оставить надежду никому не говорится, казнят его или помилуют.
Вероятность спастись у каждого зека 1/3, но хитрый Петя, подозвав охранника шепнул ему: "При любом раскладе один из двух, или Вася, или Коля умрет. Кто из них умрет точно? Я могу это знать, ведь эта информация не определяет мой приговор". Охранник по большому секрету говорит, что Коля умрет точно.
Теперь Пете известно, что либо его, либо Васю помилуют.
И вероятность спастись у него увеличилась с 1/3 до 1/2

Я плохо разбираюсь в "вероятностях", но очевидно (и стопроцентно), что один из двух (Вася или Коля) умрет. Поэтому и без вопроса охраннику информация у Пети не изменилась. Вот, если бы Петя получил ответ останется ли кто-нибудь из них жив. То он был бы действительно хитрым.

[epros]

Виктор Викторов в сообщении #367456 писал(а):

Поэтому и без вопроса охраннику информация у Пети не изменилась.

После дополнительного сообщения охранника информация у Пети как раз изменилась, правда на величину, меньшую одного бита. И связано это, как правильно было замечено, с субъективным характером вероятности. А именно, с субъективным характером предположения Пети о том, что все исходы априорно равновероятны. Не исключено, что с точки зрения Васи априорные вероятности исходов иные. Например, он знает, что Петя и Коля - злодеи рецидивисты, которых здравомыслящие судьи определённо приговорят к казни (вероятность = 1), а вот его - случайно оступившегося - ещё вопрос. Поэтому сообщения охранника могут иметь для Васи совсем другой смысл.

[Лукомор]

Виктор Викторов в сообщении #367456 писал(а):

но очевидно (и стопроцентно), что один из двух (Вася или Коля) умрет. Поэтому и без вопроса охраннику информация у Пети не изменилась.

Вот только передёргивать не надо!
Действительно, вероятность того, что (Коля или Вася) умрёт - равна 100%.
Действительно, эта вероятность не изменится от полученной информации.
Но!
Вероятность того, что (Коля или Вася) выживет равна $2/3$, а вероятность того, что выживет хитрый Петя равна $1/3$.
После получения информации, о том что Коля умрёт, вероятность того, что (Коля или Вася) выживет уменьшилась до $1/2$, соответственно и вероятность того, что выживет хитрый Петя увеличилась также до $1/2$.
И это красиво иллюстрирует объективный характер вероятности.

[Nxx]

Цитата:

После дополнительного сообщения охранника информация у Пети как раз изменилась, правда на величину, меньшую одного бита.

Точнее, примерно на 0.584963 бит.

[e2e4]

Если вернуться к парадоксу неожиданной казни, то, по-моему, рассуждения изначально порочны в том, что заключенный начал рассуждать с полудня субботы, как будто бы он в тот момент был бы точно жив. А это, конечно, не верно.
Об этом уже сказал hurtsy:

Цитата:

Заключенный, повидимому, не знает что такое условная вероятность. В воскресенье его не казнят только при условии, что произойдет следующее очень маловероятное событие, его не казнили в понедельник и не казнили во вторник и т.д.

Вот если бы заключенный смог бы построить подобную цепочку, начиная с понедельника, т.е. с момента, когда он точно еще жив, тогда можно было бы обсуждать дальше :).

[Виктор Викторов]

Лукомор в сообщении #367541 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #367456 писал(а):

но очевидно (и стопроцентно), что один из двух (Вася или Коля) умрет. Поэтому и без вопроса охраннику информация у Пети не изменилась.

Вот только передёргивать не надо!

А почему Вы столь агрессивны? Если бы Вы процитировали меня полностью, то заметили бы, что я написал "Я плохо разбираюсь в "вероятностях"". С другой стороны все согласны с тем, что "очевидно (и стопроцентно), что один из двух (Вася или Коля) умрет". Спор идет о фразе "Поэтому и без вопроса охраннику информация у Пети не изменилась." Где передёргивание?
Теперь о сути дела. Есть три пары (В, П), (В, К) и (П, К). Вероятность пары (В, К) -- $1/3$. Если мы знаем, что пара (В, П) выпала из игры, то оставшаяся вероятность $1/2$ (при моём шестиклассном образовании мне кажется, что это называется условной вероятностью). Грубо говоря, у Пети было два шанса умереть один с Колей, а второй с Васей. А остался вариант только с Колей. И вот теперь объясните, пожалуйста, как при расчете меняются вероятности.

[Андрей АK]

Sonic86 в сообщении #191641 писал(а):

... каково истинностное значение высказывания "Завтра пойдет дождь"? Я 2 варианта брал: оно либо истинно, либо ложно, но какое именно - мы не знаем; оно не истинно и не ложно. (тут понятно, что мы не ответим, что оно истинно, и не ответим, что оно ложно. А вот как мы ответим?)

В математике все ,что связано с предсказанием будущего, некорректно.
Любая задача (теория) использующая в своём аппарате ссылки на будущие события - ошибочна.
На этом же основан и "Парадокс Лжеца" - высказывание "Я лгу" применяется к еще не существующему (во время высказывания) событию, т.е. к будущему.

(я вот только не понимаю, почему этого другие не понимают)

[venco]

Давайте рассмотрим подробно условные вероятности:
Исходные равновероятные варианты: (В, П), (К, П) и (В, К).
В случае (В, П) охранник точно назовёт (В).
В случае (К, П) охранник точно назовёт (К).
Априори для Пети в случае (В, К) охранник назовёт (К) с вероятностью $\frac 1 2$.
Тогда по формулам условной вероятности по прежнему $P(\text{(К, П)}) = \frac 2 3$. Никакой информации про себя Петя не получил.
Если бы Петя знал, что в случае (К, П) охранник выберет свой ответ неравновероятно, то он получил бы информацию и про себя.

[Виктор Викторов]

venco в сообщении #367634 писал(а):

Исходные равновероятные варианты: (В, П), (К, П) и (В, К).

venco в сообщении #367634 писал(а):

Никакой информации про себя Петя не получил.

Нет получил. Теперь он знает, что вариант (В, П) отменяется.

[venco]

Виктор Викторов в сообщении #367668 писал(а):

venco в сообщении #367634 писал(а):

Никакой информации про себя Петя не получил.

Нет получил. Теперь он знает, что вариант (В, П) отменяется.

[Виктор Викторов]

venco в сообщении #367671 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #367668 писал(а):

venco в сообщении #367634 писал(а):

Никакой информации про себя Петя не получил.

Нет получил. Теперь он знает, что вариант (В, П) отменяется.

Пете не нравятся два из трех вариантов. Теперь он знает, что один из этих двух вариантов исключён. Так получил он новую информацию про себя или нет?