Термодинамика (скорость частиц в газе)

[CheerfulCalf]

Это?
$dV_v=dv_y\cdot dv_x\cdot dv_z$

[whiterussian]

Не-а... Это дифференциал. Он пока нам не нужен.

[CheerfulCalf]

ну тогда просто без дифференциала?
$V_v=v_y\cdot v_x\cdot v_z$

[whiterussian]

Ваши слова?:

CheerfulCalf в сообщении #366888 писал(а):

Формула, я думаю, получается интегрируя скорость, используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям:
$<v>=\int\limits_{0}^{\infty}v f'(v) dv$
$<v>=\sqrt\frac{8\cdot k\cdot T}{\pi \cdot m_0}$

[Александр Т.]

(Оффтоп)

Пожалуй в следующий раз мне нужно будет воздерживаться от обсуждения (легких) студенческих задач в состоянии алкогольного опьянения. Очень уж легко можно облажаться. Если при обсуждении трудной облажаться — это еще не так уж и неудобно, а при обсуждении легкой — уж больно нехорошо.

С другой стороны участие в этом обсуждение для меня лично было очень полезным. Устранил свои ложные предубеждения и освежил (если было чего освежать), из чего следует равномерное распределение средней кинетической энергии по степеням свободы.

Александр Т. в сообщении #366788 писал(а):

Munin в сообщении #366741 писал(а):

Александр Т. в сообщении #366737 писал(а):

Ну и догадаться, сколько у частицы степеней свободы.

А вот это не надо. Степеней свободы у неё много, надо считать только те, которые связаны с механическим поступательным движением. (Или с вращательным тоже, в задаче не уточнено.)

По-моему, при решении этой задачи следует считать, что число степеней свободы у частицы равно 6. Хотя бы потому, что удар молекул о частицу может быть нецентральным. Не считаю зазорным ошибаться, но пока (до тех пор, пока не будут представлены аргументы против этого) настаиваю на этой точке зрения.

Был неправ. Если бы требовалось найти среднеквадратичную скорость частицы, то при использовании равномерности распределения средней кинетической энергии по степеням свободы следовало бы считать только ее поступательные степени свободы.

Возможно меня в некоторой степени направило на ложный след то, что

Munin в сообщении #366744 писал(а):

На скорость частицы (именно она спрашивается в задаче) вращательные степени свободы не влияют совсем.

Я думал, что речь идет об обычной, а не средней скорости частицы. Если рассматривать задачу о столкновениях молекул с частицей, то очевидно на скорость частицы наличие вращательных степеней свободы влияет, так как эти столкновения — нецентральны (вообще говоря). Но на эту скорость оказывает влияние (хотя мне интуитивно кажется, что меньшее) наличие и других степеней свободы, что и было отмечено Munin'ым в другом его сообщении (см. выше).

Теперь немного о самой задаче. Если учитывать только поступательные и вращательные степени свободы частицы, то ее средняя арифметическая скорость с учетом теоремы Кенига (и кой-чего еще) вычисляется по формуле
Hack attempt!
где $\hat{I}$ — момент инерции частицы, $\vec{\omega}$ — ее угловая скорость, $v,\vartheta_v,\varphi_v$ и $\omega,\vartheta_\omega,\varphi_\omega$ — координаты векторов $\vec{v}$ и $\vec{\omega}$ в соответствующих системах координат, $\cdot$ обозначает в данном случае операцию свертки тензора второго ранга с вектором (остальные обозначения уже были введены в этой теме выше по ветке). Из этой формулы сразу же следует формула, предложенная whiterussian. (Ну и кроме того становится понятным, как можно доказать теорему о равномерном распределении средней кинетической энергии по степеням свободы (и при каких условиях она может быть неверна)).

[Munin]

(Оффтоп)

Александр Т. в сообщении #367601 писал(а):

Если рассматривать задачу о столкновениях молекул с частицей, то очевидно на скорость частицы наличие вращательных степеней свободы влияет, так как эти столкновения — нецентральны (вообще говоря). Но на эту скорость оказывает влияние (хотя мне интуитивно кажется, что меньшее) наличие и других степеней свободы, что и было отмечено Munin'ым в другом его сообщении (см. выше).

Интуитивно кажется, что меньшее, но тут коварно маячит равнораспределение.

[Александр Т.]

Александр Т. в сообщении #367601 писал(а):

Hack attempt!

Вот ведь! И здесь есть и 2 описки и ошибка. После исправления описок будет
Hack attempt!
А ошибка заключается в том, что это (исправленное) выражение верно лишь если тензор инерции частицы — шаровой. Можно выписать правильное выражение для случая произвольного тензора инерции, но это к обсуждаемой теме имеет довольно отдаленное отношение, да и лень к тому же.

[Munin]

(Оффтоп)

Не понял, если он шаровой, его вообще можно числом заменить, нет?

[Александр Т.]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #367689 писал(а):

Не понял, если он шаровой, его вообще можно числом заменить, нет?

Да, конечно. Я же про свою ошибку говорил, поэтому и оставил запись в том виде, в котором я ее записал с ошибкой.

Напишу уж тогда правильное выражение для общего случая.
Hack attempt!
Здесь тензор инерции имеет вид $\hat{I}=I_{11}\vec{l}_1\vec{l}_1+I_{22}\vec{l}_2\vec{l}_2+I_{33}\vec{l}_3\vec{l}_3$ ($\vec{a}\vec{b}$ обозначает диадное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ), $1,\vartheta_1,\varphi_1$ и $1,\vartheta_2,\varphi_2$ — координаты единичных собственных векторов тензора инерции $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_2$ в той сферической системе координат, где координаты вектора $\vec\omega$ суть $\omega,\vartheta_\omega,\varphi_\omega$, $\varphi=\varphi_1-\varphi_2$ ($\vec{l}_3=\vec{l}_1\times\vec{l}_2$ ($\times$ обозначает векторное произведение), а $\vartheta_2$ определяется из соотношения $\tg\vartheta_1\tg\vartheta_2\cos\varphi=-1$).

(Уфф! Пока писал еще пару ошибок сделал, а потом исправил. Но надеюсь, что в окончательном выражении нигде не напутал.)

[Munin]

(Оффтоп)

Круто!