Многообразие: множество матриц с нулевым определителем

[Niclax]

paha в сообщении #365912 писал(а):

у нас не прямая, а

paha в сообщении #365566 писал(а):

$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}$

Не знаю, зачем Вам это нужно, но если хотите, то вот топология: $\{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}, \mathbb{R}, (-\infty,0), [0,\infty), \varnothing\}$

Цитата:

Niclax в сообщении #365907 писал(а):

Ок, назовем её $(U,\phi)$. Что дальше?

не назовем, а рассмотрите

Я не понимаю, что Вы имеете ввиду.

[paha]

Niclax в сообщении #366091 писал(а):

$\{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}, \mathbb{R}, (-\infty,0), [0,\infty), \varnothing\}$

Не надо выдумывать топологию. В Вашем вопросе ясно сказано: является ли ${\rm det}^{-1}(0)$ многообразием?

Ведь это самое ${\rm det}^{-1}(0)$ является подмножеством в $\mathbb{R}^{n^2}$ и под топологией подразумевается индуцированная топология. Вот в случае $n=2$
Ваше множество это

$$ \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4:x_1x_4-x_2x_3=0\}. $$

И топология индуцирована из $\mathbb{R}^4$.

Иначе... на любом множестве мощности не более, чем континуум, можно ввести топологию, в которой оно будет гладким и даже замкнутым (компактным без края) многообразием

[Niclax]

Если я Вас правильно понял, то, следуя Вашей логике, никакая поверхность или кривая в трехмерном пространстве не будет многообразием.

[Niclax]

Я, кажись, разобрался. Если на множество $\mathbb{R}^N$ накладывается уравнение $F(x)=0$, где $F:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}$, то множество точек, задаваемое этим уравнением, будет гладким многообразием, если во всех точках решения $\nabla F\neq0$. В моем случаем в качестве $F$ выступает детерминант, его градиент есть вектор из алгебраических дополнений, который в нулевой матрице обращается в ноль. Следовательно, данное множество многообразием не является!

[paha]

Niclax в сообщении #366288 писал(а):

его градиент есть вектор из алгебраических дополнений, который в нулевой матрице обращается в ноль. Следовательно, данное множество многообразием не является!

все-таки аккуратнее будет рассмотреть карту

[Niclax]

paha в сообщении #366289 писал(а):

все-таки аккуратнее будет рассмотреть карту

Ну пусть будет окрестность нуля.

[paha]

да...и рассмотрите возможную карту $\psi:U\to\mathbb{R}^k$... кстати ... чему равно $k$?

[Niclax]

Нет, так не пойдет. Ненулевой градиент даёт достаточное условие, но не необходимое. Например, множество $x^2=0$ задает плоскость в пространстве, но имеет нулевой градиент в 0.

paha в сообщении #366292 писал(а):

да...и рассмотрите возможную карту $\psi:U\to\mathbb{R}^k$... кстати ... чему равно $k$?

Единице.

[moscwicz]

у функции $f(x,y)=x^2$ ноль тоже

paha в сообщении #365494 писал(а):

критическое значение

однако $f(x,y)=0$ задет гладкое многообразие на плоскости

[id]

Кстати, оно, выходит, и топологическим многообразием не является (кажется)? Уж очень окрестность нулевой матрицы непохожа на $\mathbb R^m$; может быть, если вырезать $0$, что-нибудь получится.
paha
Вы случайно не знаете, как это строго доказать?

[Niclax]

В общем, можно доказать так: окрестность любой ненулевой точки данного множества будет многообразием размерности $n^2-1$ (ибо ненулевой градиент), но если предположить тоже самое для нулевой точки, то размерность касательного пространства в нуле получается больше размерности многообразия, что невозможно.

[paha]

Niclax в сообщении #366288 писал(а):

Следовательно, данное множество многообразием не является!

moscwicz в сообщении #366530 писал(а):

у функции $f(x,y)=x^2$ ноль тоже
paha в сообщении #365494 писал(а):
критическое значение

однако $f(x,y)=0$ задет гладкое многообразие на плоскости

читайте внимательней, что я написал:

paha в сообщении #365494 писал(а):

вообще говоря, $0$ -- критическое значение функции ${\rm det}:\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}$, поэтому теорему о прообразе регулярного значения применять нельзя

именно я имел ввиду, что

Niclax в сообщении #366477 писал(а):

Ненулевой градиент даёт достаточное условие, но не необходимое.

поэтому и предложил аккуратненько рассмотреть окрестность нулевой матрицы

id в сообщении #366535 писал(а):

может быть, если вырезать $0$, что-нибудь получится

да, разумеется

Niclax в сообщении #366540 писал(а):

то размерность касательного пространства в нуле получается больше размерности многообразия

правильно