2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Многообразие: множество матриц с нулевым определителем
Сообщение23.10.2010, 22:02 
Является ли множество матриц $n\times n$ с нулевым определителем многообразием? Если да, то какой размерности?

P.S. Какие есть книжки по многообразиям с задачами и примерами их решения?

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение23.10.2010, 22:18 
Niclax в сообщении #365464 писал(а):
Является ли множество матриц nxn с нулевым определителем многообразием?

Безусловно, является. (Да, кстати: а что такое "многообразие"?...)

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение23.10.2010, 22:47 
Аватара пользователя
Книг много. Вот например "Geometry of Manifolds" by Richard L.Bishop. Очень хорошая книга. ещё книга "Лекции по диф. геометрии" С.Стернберг.

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение23.10.2010, 22:50 
ewert в сообщении #365477 писал(а):
Niclax в сообщении #365464 писал(а):
Является ли множество матриц nxn с нулевым определителем многообразием?

Безусловно, является. (Да, кстати: а что такое "многообразие"?...)

Множество с биекциями множеств его покрытия на открытые подмножества $\mathbb{R}^n$.

P.S. Еще пара вопросов: Должны ли картирующие отображения быть непрерывными? Произвольное подмножество $\mathbb{R}^n$ можно рассматривать как многообразие любой размерности?

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение23.10.2010, 22:57 
Аватара пользователя
maxmatem в сообщении #365489 писал(а):
Если надо про дифференцируемые многообразия

и та и другая книжка именно про дифференцируемые)))

-- Вс окт 24, 2010 00:10:35 --

вообще говоря, $0$ -- критическое значение функции ${\rm det}:\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}$, поэтому теорему о прообразе регулярного значения применять нельзя

Посмотрите, что в окрестности нулевой матрицы происходит

-- Вс окт 24, 2010 00:18:56 --

Niclax в сообщении #365490 писал(а):
Еще пара вопросов: Должны ли картирующие отображения быть непрерывными?

да, а сквозные -- гладкими

Niclax в сообщении #365490 писал(а):
Произвольное подмножество $\mathbb{R}^n$ можно рассматривать как многообразие любой размерности?

нет

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение23.10.2010, 23:26 
Аватара пользователя
Paha

(Оффтоп)

я читал и ту и ту книгу(не скажу что прям штудировал, но занимался по некоторым главам из них), я уточнил про дифференцируемые потому что в о второй книге изложение об многообразиях ,начинается с общего определения многообразия и сразу вводят понятие дифференцируемого многообразия , а впервой книге чуть по подробнее расписаны примеры многообразий.( в большинстве гладких)

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение23.10.2010, 23:37 
Аватара пользователя
Может, я неясно выразился... но ответ на вопрос

Niclax в сообщении #365464 писал(а):
Является ли множество матриц nxn с нулевым определителем многообразием?


"нет, не является гладким многообразием"

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение24.10.2010, 01:11 
paha в сообщении #365494 писал(а):

вообще говоря, $0$ -- критическое значение функции ${\rm det}:\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}$, поэтому теорему о прообразе регулярного значения применять нельзя

Посмотрите, что в окрестности нулевой матрицы происходит


Что там происходит и зачем нам это знать?

Цитата:
Niclax в сообщении #365490 писал(а):
Произвольное подмножество $\mathbb{R}^n$ можно рассматривать как многообразие любой размерности?

нет


А подмножество мощности континуум?

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение24.10.2010, 10:10 
Аватара пользователя
Niclax в сообщении #365540 писал(а):
Что там происходит и зачем нам это знать?

там ваше подмножество ${\rm det}^{-1}(0)$ не является локально плоским -- нормаль не определена, поэтому нет согласованной карты

Niclax в сообщении #365540 писал(а):
А подмножество мощности континуум?

нет же: рассмотрите $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}$ вот там в нуле такая же беда

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение24.10.2010, 21:11 
paha
Я не знаю, что такое "локально плоское множество", "нормаль", "согласованная карта". Одного определения многообразия недостаточно, чтобы это доказать?

Цитата:
нет же: рассмотрите $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}$ вот там в нуле такая же беда


Здесь же тривиально строится атлас. Например, из трех карт: $(-\infty,0), (0,\infty), \mathbb{R}$ c тождестенными отображениями.

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение24.10.2010, 23:16 
Аватара пользователя
Niclax

Две карты $\[(U;\phi )\]$ и$ \[(V;\psi )\,\]$
называются гладко связанными (согласованными ) если
$ \[\psi  \circ \phi ^{ - 1} :\phi (U \cap V) \to \psi (U \cap V)\]$ - является диффеоморфизмом.

Цитата:
Одного определения многообразия недостаточно, чтобы это доказать?

Не совсем.
Кстати а каким вы определением пользуетесь? Просто иногда в некоторых книгах дают сразу определение гладкого многообразия.

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение25.10.2010, 00:21 
maxmatem
Я пользуюсь определением гладкого многообразия, т.е.
многообразие = множество в $\mathbb{R}^n$ + атлас с гладкими функциями перехода.

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение25.10.2010, 01:07 
Аватара пользователя
Niclax в сообщении #365841 писал(а):
Здесь же тривиально строится атлас. Например, из трех карт: $(-\infty,0), (0,\infty), \mathbb{R}$ c тождестенными отображениями.

карта -- отображение открытого множества... а здесь $\mathbb{R}$ не является открытым, как бы Вы его в крест не вкладывали

-- Пн окт 25, 2010 02:09:46 --

Niclax в сообщении #365841 писал(а):
не знаю, что такое "локально плоское множество", "нормаль", "согласованная карта". Одного определения многообразия недостаточно, чтобы это доказать?

достаточно: рассмотрите гипотетическую "карту", покрывающую нулевую матрицу

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение25.10.2010, 01:40 
paha в сообщении #365903 писал(а):
Niclax в сообщении #365841 писал(а):
Здесь же тривиально строится атлас. Например, из трех карт: $(-\infty,0), (0,\infty), \mathbb{R}$ c тождестенными отображениями.

карта -- отображение открытого множества... а здесь $\mathbb{R}$ не является открытым, как бы Вы его в крест не вкладывали


$\mathbb{R}$ открыто в $\mathbb{R}$

Цитата:
-- Пн окт 25, 2010 02:09:46 --

Niclax в сообщении #365841 писал(а):
не знаю, что такое "локально плоское множество", "нормаль", "согласованная карта". Одного определения многообразия недостаточно, чтобы это доказать?

достаточно: рассмотрите гипотетическую "карту", покрывающую нулевую матрицу


Ок, назовем её $(U,\phi)$. Что дальше?

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение25.10.2010, 01:58 
Аватара пользователя
Niclax в сообщении #365907 писал(а):
$\mathbb{R}$ открыто в $\mathbb{R}$

у нас не прямая, а
paha в сообщении #365566 писал(а):
$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}$


-- Пн окт 25, 2010 02:59:19 --

Niclax в сообщении #365907 писал(а):
Ок, назовем её $(U,\phi)$. Что дальше?

не назовем, а рассмотрите

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group