2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Многообразия
Сообщение25.10.2010, 17:57 
paha в сообщении #365912 писал(а):
у нас не прямая, а
paha в сообщении #365566 писал(а):
$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}$


Не знаю, зачем Вам это нужно, но если хотите, то вот топология: $\{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}, \mathbb{R}, (-\infty,0), [0,\infty), \varnothing\}$

Цитата:
Niclax в сообщении #365907 писал(а):
Ок, назовем её $(U,\phi)$. Что дальше?

не назовем, а рассмотрите


Я не понимаю, что Вы имеете ввиду.

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение25.10.2010, 18:56 
Аватара пользователя
Niclax в сообщении #366091 писал(а):
$\{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}, \mathbb{R}, (-\infty,0), [0,\infty), \varnothing\}$

Не надо выдумывать топологию. В Вашем вопросе ясно сказано: является ли ${\rm det}^{-1}(0)$ многообразием?

Ведь это самое ${\rm det}^{-1}(0)$ является подмножеством в $\mathbb{R}^{n^2}$ и под топологией подразумевается индуцированная топология. Вот в случае $n=2$
Ваше множество это
$$
\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4:x_1x_4-x_2x_3=0\}.
$$
И топология индуцирована из $\mathbb{R}^4$.

Иначе... на любом множестве мощности не более, чем континуум, можно ввести топологию, в которой оно будет гладким и даже замкнутым (компактным без края) многообразием

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение25.10.2010, 22:27 
Если я Вас правильно понял, то, следуя Вашей логике, никакая поверхность или кривая в трехмерном пространстве не будет многообразием.

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение26.10.2010, 00:33 
Я, кажись, разобрался. Если на множество $\mathbb{R}^N$ накладывается уравнение $F(x)=0$, где $F:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}$, то множество точек, задаваемое этим уравнением, будет гладким многообразием, если во всех точках решения $\nabla F\neq0$. В моем случаем в качестве $F$ выступает детерминант, его градиент есть вектор из алгебраических дополнений, который в нулевой матрице обращается в ноль. Следовательно, данное множество многообразием не является! :D

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение26.10.2010, 00:48 
Аватара пользователя
Niclax в сообщении #366288 писал(а):
его градиент есть вектор из алгебраических дополнений, который в нулевой матрице обращается в ноль. Следовательно, данное множество многообразием не является! :D

все-таки аккуратнее будет рассмотреть карту

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение26.10.2010, 00:59 
paha в сообщении #366289 писал(а):
все-таки аккуратнее будет рассмотреть карту

Ну пусть будет окрестность нуля.

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение26.10.2010, 01:10 
Аватара пользователя
да...и рассмотрите возможную карту $\psi:U\to\mathbb{R}^k$... кстати ... чему равно $k$?

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение26.10.2010, 18:23 
Нет, так не пойдет. Ненулевой градиент даёт достаточное условие, но не необходимое. Например, множество $x^2=0$ задает плоскость в пространстве, но имеет нулевой градиент в 0.


paha в сообщении #366292 писал(а):
да...и рассмотрите возможную карту $\psi:U\to\mathbb{R}^k$... кстати ... чему равно $k$?


Единице.

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение26.10.2010, 20:10 
у функции $f(x,y)=x^2$ ноль тоже
paha в сообщении #365494 писал(а):
критическое значение

однако $f(x,y)=0$ задет гладкое многообразие на плоскости

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение26.10.2010, 20:25 
Кстати, оно, выходит, и топологическим многообразием не является (кажется)? Уж очень окрестность нулевой матрицы непохожа на $\mathbb R^m$; может быть, если вырезать $0$, что-нибудь получится.
paha
Вы случайно не знаете, как это строго доказать? :-)

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение26.10.2010, 20:46 
В общем, можно доказать так: окрестность любой ненулевой точки данного множества будет многообразием размерности $n^2-1$ (ибо ненулевой градиент), но если предположить тоже самое для нулевой точки, то размерность касательного пространства в нуле получается больше размерности многообразия, что невозможно.

 
 
 
 Re: Многообразия
Сообщение26.10.2010, 21:26 
Аватара пользователя
Niclax в сообщении #366288 писал(а):
Следовательно, данное множество многообразием не является!

moscwicz в сообщении #366530 писал(а):
у функции $f(x,y)=x^2$ ноль тоже
paha в сообщении #365494 писал(а):
критическое значение

однако $f(x,y)=0$ задет гладкое многообразие на плоскости

читайте внимательней, что я написал:
paha в сообщении #365494 писал(а):
вообще говоря, $0$ -- критическое значение функции ${\rm det}:\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}$, поэтому теорему о прообразе регулярного значения применять нельзя


именно я имел ввиду, что
Niclax в сообщении #366477 писал(а):
Ненулевой градиент даёт достаточное условие, но не необходимое.


поэтому и предложил аккуратненько рассмотреть окрестность нулевой матрицы

id в сообщении #366535 писал(а):
может быть, если вырезать $0$, что-нибудь получится


да, разумеется


Niclax в сообщении #366540 писал(а):
то размерность касательного пространства в нуле получается больше размерности многообразия


правильно

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group