Уравнение Лапласа в магнитостатике

[Александр Т.]

Munin в сообщении #366374 писал(а):

Александр Т. в сообщении #366290 писал(а):

Вы не согласны с тем, что по определению $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathrm{grad}}$? Как же тогда определяется лапласиан?

Перечитайте предыдущую тему, она вся посвящена этому.

Предыдущая — это какая? Если предыдущая по отношению к данной теме, то в каком смысле предыдущая?

Если же Вы имели в виду прочитать часть данной темы, предшедствующую моему соообщению, на которое Вы ответили, то я ее довольно внимательно прочитал и даже оставил там сообщение (Вы почему-то не сообщили, что то, что я там написал — неверно по Вашему мнению).

Цитата:

Есть лапласиан от скаляра, есть лапласиан от вектора. Для них для обоих верно $\Delta=(\nabla\cdot\nabla),$ но не то, что вы дальше пишете.

Иначе говоря, Вы утверждаете, что

$$ \nabla\cdot\nabla \neq \mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathrm{grad}} $$

и, возможно даже (раз Вы использовали скобки), что (для произвольного векторного поля $\vec{A}$)

$$ (\nabla\cdot\nabla) \vec{A} \neq \nabla\cdot\left(\nabla\vec{A}\right) . $$

Цитата:

(Ужасная догадка) Или вы предлагаете брать градиент от вектора, а потом уже от него дивергенцию?

Именно так (см. также выше). Я давно уже приучен без всякого мистического ужаса брать градиент (т.е. применять набла-оператор) от тензора любого ранга (включая нулевой и первый) и получать в результате тензор с рангом на единицу бо́льшим.

Цитата:

Александр Т. в сообщении #366290 писал(а):

Или Вы хотели сказать, что компонента лапласиана вектора не равна лапласиану от этой компоненты?

С этого тема началась давным-давно, это сказал не я.

И Вы считаете, что это то же самое, что и $ (\nabla\cdot\nabla) \vec{A} \neq \nabla\cdot\left(\nabla\vec{A}\right) $?

Цитата:

Теперь речь идёт о том, почему это так.

Ну это очевидно следует из преобразования

$$ \Delta \vec{A} = \nabla\cdot\nabla \left(A^i \vec{e}_i\right) = \vec{e}_i\Delta A^i + 2 \left(\nabla \vec{e}_i\right)^{\mathrm{T}}\cdot \nabla A^i + A^i\Delta \vec{e}_i . $$

Здесь $A^i$ — контравариантные координаты произвольного векторного поля $\vec{A}$, $\vec{e}_i$ — векторы соответствующего локального базиса, $\hat{T}^\mathrm{T}$ обозначает транспонирование тензора второго ранга $\hat{T}$. (Правда очевидно только для того, кто более или менее знает векторное исчисление.)

[Munin]

Александр Т. в сообщении #366416 писал(а):

Я давно уже приучен без всякого мистического ужаса брать градиент (т.е. применять набла-оператор) от тензора любого ранга (включая нулевой и первый) и получать в результате тензор с рангом на единицу бо́льшим.

Вы-то да. Но вы ожидаете тех же навыков от любого студента, который приходит с вопросами на форум? Я предполагал, что векторный анализ ему знаком, а тензорный нет.

Александр Т. в сообщении #366416 писал(а):

Ну это очевидно следует из преобразования

Большое спасибо за ещё одну форму представления, очень красивую и компактную. Я надеюсь, топикстартер ещё вернётся и оценит.