Парадокс в умножении чисел.

[qwertys]

p51x в сообщении #289156 писал(а):

qwertys
Вот вам один большой минус:
$-2\cdot (2-2)=-2\cdot 0 = 0$
$-2\cdot (2-2)=-2\cdot 2-2\cdot (-2)= -4-4 = -8$

Ваше замечание верное. Я немного поторопился. Тогда небходимо выполнение следующего равенства:
$-2\cdot 2 = 4, что усложняет шумерский вариант алгебры. Это почти равносильно вводу комплексных чисел. Так что, вероятно, овчинка не стоит выделки.
Однако, хотелось бы видеть доказательство, что шумерский вариант действительно хуже.

-- Пн фев 15, 2010 16:57:17 --

Профессор Снэйп в сообщении #289190 писал(а):

qwertys в сообщении #289145 писал(а):

В принципе, возможен вариант, когда первый сомножитель отрицательный, а второй положительный и произведение положительно.

$1 \cdot (-1) = 1$, то есть $1 \cdot x \neq x$ при $x = -1$. Что же у нас за единица тогда?

Я говорил о том, что $ ( -1) \cdot1= 1$. В этом варианте,
при умножении двух чисел, знак произведения определяется знаком второго сомножителя. Он является знакообразкющим и операщия умножения переместительным свойством не обладает. Вопрос, что лучше, такой вариант умножения или существующий, почти не возникает, но хотелось бы получить на него ответ.

[12d3]

qwertys в сообщении #289264 писал(а):

Тогда небходимо выполнение следующего равенства:
$-2\cdot 2 = 4

Тогда $2\cdot 2 = ?$

[qwertys]

Теперь и я убедился, что вариант умножения чисел о котором пишет в своей статье Александр Махов и который мы здесь обсуждали ошибочный.
Всем спасибо, кто принял участие в этой теме.

[PAV]

На всякий случай (для будущих потенциальных читателей, у которых может возникнуть тот же вопрос) приведу доказательство того, что произведение двух отрицательных чисел должно быть положительным.
По определению противоположное число $(-x)$ определяется равенством $x+(-x)=0$.
Легко показать, что таким образом противоположный элемент определяется однозначно.
Отсюда также следует, что противоположным к $(-x)$ является $x$. Т.е. противоположность - симметричное свойство, и дважды переход к противоположному возвращает нас к исходному числу.

С другой стороны, здесь bot привел доказательство того, что взятие противоположного эквивалентно умножению на минус единицу: $(-x)=(-1)\cdot x$.

Из этих двух утверждений сразу и приходим к тому, что $(-1)\cdot(-1)=1$.

[sekhvor]

Очень, очень хорошо, что вы интересуетесь такими вопросами, но там нет никакого парадокса. Внимательно посмотрев, я увидел, что его модель описывает только операции ++, +-, -+, а вот (--) в модели и близко нет. Это в корне рубит все. На каком-то форуме я увидел, что это уже заметил один человек и описал. Поищи, я думаю найдешь.
Ну я что до проблемы умножения, то пока скажем такое. Операция умножения это искусственная матаматическая операция (модель, чистая теория). В природе ее нет. В природе все что мы видим это сложение. Но как любая модель умножение имеет проблемы, умножение (--) избыточность данной теории (модели), но под эту избыточность подобрали, доказали хорошие правила и пока в расчетах все максимально сходится, все достаточно удобно и всех устраивает. Не судите, пожалуйста, меня строго, пока достаточно и такого.

[STilda]

PAV в сообщении #290035 писал(а):

По определению противоположное число $(-x)$ определяется равенством $x+(-x)=0$.
Легко показать, что таким образом противоположный элемент определяется однозначно.
Отсюда также следует, что противоположным к $(-x)$ является $x$. Т.е. противоположность - симметричное свойство, и дважды переход к противоположному возвращает нас к исходному числу.[/math].

Переписав один в один поменяв местами $-$ и $+$ получим:
По определению противоположное число $(+x)$ определяется равенством $(+x)+(-x)=0$.
Легко показать, что таким образом противоположный элемент определяется однозначно.
Отсюда также следует, что противоположным к $(+x)$ является $-x$. Т.е. противоположность - симметричное свойство, и дважды переход к противоположному возвращает нас к исходному числу. Из этого сразу приходим к тому, что $(+1)*(+1)=(-1)$.

Система $(+1)*(+1)=(-1),(+1)*(-1)=(+1),(-1)*(-1)=(-1)$ совпадает с нашей привычной с точностью до обозначений. Поэтому те, кто изучает Шумеров, смотрите СМЫСЛ обозначений. Может они противоположный элемент обозначали плюсом, а может минусом обозначали не противоположный а еще какой нибудь. Так что одно равенство $(-1)*(-1)=(-1)$ не содержит никакого противоречия.

[shwedka]

STilda в сообщении #365859 писал(а):

Из этого сразу приходим к тому, что $(+1)*(+1)=(-1)$.

подробненько напишите, как Вы сразу к такому приходите,
не глотая слов

[STilda]

shwedka, спросите у PAV, я лишь сделал банальную замену обозначений.

[tolstopuz]

STilda в сообщении #365859 писал(а):

PAV в сообщении #290035 писал(а):

По определению противоположное число $(-x)$ определяется равенством $x+(-x)=0$.

Переписав один в один поменяв местами $-$ и $+$ получим:
По определению противоположное число $(+x)$ определяется равенством $(+x)+(-x)=0$.

У вас при переписывании, к сожалению, потерялся смысл. Процитированная фраза PAV в более строгой форме выглядит так:

Унарная операция "противоположный элемент", обозначаемая написанием знака минус перед аргументом, по определению переводит число $x$ в такое число, сумма которого с $x$ равна $0$. Доказательство того, что это число всегда существует и единственно, предоставляется по просьбам желающих.

Теперь, пожалуйста, сделайте такую же замену обозначений в этом варианте.

[shwedka]

STilda
не надо песен. Каждый отвечает за себя.PAV может доказать свое утверждение. У Вас другое утверждение. Доказательство на стол!

[STilda]

tolstopuz в сообщении #365957 писал(а):

У вас при переписывании, к сожалению, потерялся смысл.

Какой это смысл потерялся? Я сделал тупую текстовую подстановку + -> -, - ->+.

tolstopuz в сообщении #365957 писал(а):

Процитированная фраза PAV в более строгой форме выглядит так:
Унарная операция "противоположный элемент", обозначаемая написанием знака минус перед аргументом, по определению переводит число в такое число, сумма которого с равна .

Должен сказать, что это не все, что подразумевается в формулировке PAV.
Моя версия:
Унарная операция "противоположный элемент", обозначаемая написанием знака плюс перед аргументом, по определению переводит число $x$ в такое число, сумма которого с $x$ равна $0$.

Ну и мое дополнение, которое не вошло в уточнение tolstopuzа. То, что противоположный противоположного является исходным нужно записывать в операторной форме в виде $-\comp-=+$, где $-$ - оператор взятия противоположного, $+$ - тождественный оператор, и идет копозиция операторов. Тогда выражение PAVа $x+(-x)=0$ в более полной форме запишеться $(+x)+(-x)=0$. Остается добавить, что в моей версии тождественный оператор обозначается значком $-$.

[tolstopuz]

STilda в сообщении #366045 писал(а):

Какой это смысл потерялся? Я сделал тупую текстовую подстановку + -> -, - ->+.

Нет. Посмотрите внимательнее - вы добавили один лишний знак. У PAV в равенстве присутствует ранее определенная бинарная операция сложения и определяемая в данный момент унарная операция противоположного числа. У вас же там одна бинарная и две унарных операции, вторая из которых еще не определена. Вот весь смысл и рушится.

STilda в сообщении #366045 писал(а):

Моя версия:
Унарная операция "противоположный элемент", обозначаемая написанием знака плюс перед аргументом, по определению переводит число $x$ в такое число, сумма которого с $x$ равна $0$.

Это уже лучше, тут я проблем не вижу. Разве что советую для консистентности обозначить сумму тоже каким-нибудь другим знаком, например, минусом. Ожидаются очень интересные эффекты, в частности, потому, что сложение коммутативно и ассоциативно, а вычитание - нет.

STilda в сообщении #366045 писал(а):

Тогда выражение PAVа $x+(-x)=0$ в более полной форме запишеться $(+x)+(-x)=0$.

А в еще более полной форме - $(++--+x)+(-+-+-x)=0$. Нет предела совершенству. Только вот есть проблема - какое-то определение, плюса или минуса, должно идти первым, и в нем вторую операцию использовать не удастся. Симметрию, к сожалению, придется нарушить.

[Xenia1996]

qwertys в сообщении #289052 писал(а):

Недавно, в Интернете, прочитал статью Александра Махова "От парадокса в умножении чисел до ...". Из этой статьи я узнал, что ещё пять тысяч лет тому назад, шумеры, при умножении двух отрицательных чисел в результате получали тоже отрицательное число! Значит, они обходились без мнимых чисел, так как из отрицательного числа можно было извлекать квадратный корень, не нужна была теория функций комплексного переменного и т. д.
Как так получилось, что у шумеров (-2) x (-2) = (-4), а у нас (-2) x (-2) = (+4)?

О каких отрицательных числах у шумеров Вы говорите? Тогда и нуля-то в помине не было.

-- Пн окт 25, 2010 16:23:04 --

Chifu в сообщении #289187 писал(а):

Говорят шумеры на чистом татарском разговаривали :)
А были ли у них отрицательные числа вообще и нуль тоже?

А ещё говорят, что 11-го сентября не было, Кеннеди до сих пор жив, Элвис - тоже, а бермудский треугольник - выход в бесконечномерное пространство-время.
Да мало ли, что ещё говорят?