Делимость многочленов

[SakumaRei]

Помогите разобраться.
Доказать, что многочлен $x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ делится на многочлен $x^2+x+1$ при целых неотрицательных m , n , p.

[ewert]

А чему равны корни $x^2+x+1$?... Просто подставьте их в первый многочлен.

[zZoMROT]

$f(x) = x^{3m} + x^{3n}x + x^{3p}x^2$
Пусть $x^3 = y => f(x) = y^m + y^nx + y^px^2$
Поделим в столбик $f(x)$ на $x^2 + x + 1$, получим:
$(y^m + y^nx + y^px^2) / (x^2 + x + 1) = y^p + (x(y^n - y^p) + y^m - y^p)/(x^2 + x + 1)$
при $n = p, m = p$, остаток равен $0$, следовательно $f(x)$ делится на $x^2 + x + 1$

[SakumaRei]

zZoMROT в сообщении #365617 писал(а):

при $n = p, m = p$,

Дело-то как раз в том, что такого условия нет. А требуется доказать для любых m, n, p.

[ewert]

Так чему всё-таки равны корни?

[mihailm]

SakumaRei в сообщении #365628 писал(а):

Дело-то как раз в том, что такого условия нет. А требуется доказать для любых m, n, p.

Кто требует?

[zZoMROT]

SakumaRei в сообщении #365628 писал(а):

zZoMROT в сообщении #365617 писал(а):

при $n = p, m = p$,

Дело-то как раз в том, что такого условия нет. А требуется доказать для любых m, n, p.

я почему-то решил, что существуют такие $m, n, p$, потому что если для любых, то это утверждение неверно:
$m = n = p = 0: x+x^2$ не делится на $x^2+x+1$

[ewert]

zZoMROT в сообщении #365649 писал(а):

$m = n = p = 0: x+x^2$

А куда первое слагаемое делось?...

И, кстати, чему же равны корни $x^2+x+1$?...

[zZoMROT]

ewert в сообщении #365654 писал(а):

zZoMROT в сообщении #365649 писал(а):

$m = n = p = 0: x+x^2$

А куда первое слагаемое делось?...

его украли по пути на форум :)


Рассмотрим $(x^2 + x + 1)(a_1x^{b_1} + ... + a_m) =$
$= (a_1x^{b_1+2} + ... + a_mx^2) + (a_1x^{b_1+1} + ... + a_mx) + (a_1x^{b_1} + ... + a_m) =$
$= a_1(x^{b_1+2}+x^{b_1+1}+x^{b_1}) + ... + a_m(x^2 + x + 1)$

Видим, что выбирая, чтобы только 1 какое-то $a_i \neq 0 $, получим $a_i(x^{b_i+2}+x^{b_i+1}+x^{b_i})$
Выберем 5 таких $a_i$ неравных нулю (остальные равны нулю). Чтобы не путаться с индексами, обозначим их $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5:$
$(a_1x^{b_1+2}+a_1x^{b_1+1}+a_1x^{b_1}) + (a_2x^{b_2+2}+a_2x^{b_2+1}+a_2x^{b_2}) + (a_3x^{b_3+2}+a_3x^{b_3+1}+a_3x^{b_3}) + (a_4x^{b_4+2}+a_4x^{b_4+1}+a_4x^{b_4}) + (a_5x^{b_5+2}+a_5x^{b_5+1}+a_5x^{b_5})$

этот многочлен равен данному $x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$, если:
$ \left\{ \begin{array}{l} a_1x^{b_1+1} + a_2x^{b_2+2} = 0,\\ a_1x^{b_1} + a_2x^{b_2+1} = 0,\\ a_3x^{b_3+2} + a_4x^{b_4+1} = 0,\\ (a_3x^{b_3} + a_4x^{b_4} + a_4x^{b_4+2})+(a_5x^{b_5+2}+a_5x^{b_5+1}+a_5x^{b_5}) = 0 \end{array} \right. \Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} -\frac{a_1}{a_2}=x^{b_2-b_1+1},\\ -\frac{a_1}{a_2}=x^{b_2-b_1+1},\\ -\frac{a_3}{a_4}=x^{b_4-b_3-1},\\ (a_3x^{b_3} + a_4x^{b_4} + a_4x^{b_4+2}) + (a_5x^{b_5+2}+a_5x^{b_5+1}+a_5x^{b_5}) = 0 \end{array} \right. $
находим такие параметры, чтобы при их значении тождества в системе были верны при любом $x$:
$ \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} b_2 - b_1 +1 = 0,\\ -a_1 = a_2,\\ \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} b_4 - b_3 - 1 = 0,\\ -a_3 = a_4,\\ \end{array} \right.\\ (a_3x^{b_3} + a_4x^{b_4} + a_4x^{b_4+2}) + (a_5x^{b_5+2}+a_5x^{b_5+1}+a_5x^{b_5}) = 0 \end{array} \right.\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} b_2 = b_1 - 1,\\ -a_1 = a_2,\\ \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} b_4 = b_3 + 1,\\ -a_3 = a_4,\\ \end{array} \right.\\ (-a_4x^{b_3} + a_4x^{b_3+1} + a_4x^{b_3+3})+(a_5x^{b_5+2}+a_5x^{b_5+1}+a_5x^{b_5}) = 0 \end{array} \right.\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} b_2 = b_1 - 1,\\ -a_1 = a_2,\\ \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} b_4 = b_3 + 1,\\ -a_3 = a_4,\\ \end{array} \right.\\ (-a_4x^{b_3} + a_4x^{b_3+1} + a_4x^{b_3+3})+(a_5x^{b_5+2}+a_5x^{b_5+1}+a_5x^{b_5}) = 0 \end{array} \right.
Пусть $a_5 = a_4$, тогда:
$-a_4(x^{b_3} - x^{b_3+1} - x^{b_3+3} - x^{b_5+2} - x^{b_5+1} - x^{b_5}) = $
$-a_4(x^{b_3} - x^{b_3+1} - x^{b_3+3} - x^{b_5+2} - x^{b_5+1} - x^{b_5}) = $
при $b_3 = b_5 - 1$:
$-a_4(x^{b_3} - x^{b_5} - x^{b_5+2} - x^{b_5+2} - x^{b_5+1} - x^{b_5}) = $
$-a_4(x^{b_5-1}- x^{b_5+1})$

мне лень переписывать и переправлять ))) не будем добавлять последнее условие в систему, а просто отдельно будем рассматривать это слагаемое (уж простите)
из системы следует, что $\exists a_i, b_j:$ некоторые слагаемые зануляются, тогда останется:
$a_1x^{b_1+2}+a_2x^{b_2}+(-a_4(x^{b_5-1}- x^{b_5+1})) = a_1x^{b_1+2}+a_2x^{b_2}-a_4x^{b_5-1}+a_4x^{b_5+1}$

Итак, при \left\{ \begin{array}{l} a_1 = 1, b_1+2 = 3p+2,\\ a_2 = 1, b_2 = 3n+1,\\ -a_4(x^{b_5-1}-x^{b_5+1}) = x^{3m} \end{array} \right. мы получаем данный многочлен.
Вывод: если существует $b_5: -a_4(x^{b_5-1}-x^{b_5+1}) = x^{3m}$, то данный нам многочлен делится на $x^2+x+1$

Рассмотрим $-a_4(x^{b_5-1}-x^{b_5+1}) = x^{3m}$:
$-a_4x^{b_5-1}(1-x^{2}) = x^{3m}$
$-a_4(1-x^{2}) = x^{3m-b_5+1}$
при $3m-b_5+1 = 0$, т.е. $b_5 = 3m+1:$
$-a_4(1-x^{2}) = 1$
$ x^2 = \frac{1}{a_4}+1$

находим корни $x_1, x_2$ многочлена $x^2+x+1$, находим $(x_1)^2$
чтобы данный многочлен делился на $x^2+x+1$, мн-во его корней должно содержать корни $x^2+x+1$
Отсюда находим $a_4$

Вот мы даже нашли частное от деления данного мн-на на $x^2+x+1$

[ewert]

И всё это -- вместо того, что если $x=e^{2\pi i/3}$, то, очевидно, $x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}=1+e^{2\pi i/3}+e^{4\pi i/3}=0$.

[Ales]

Надо умножить:$(x^2+x+1)(x-1)=x^3-1$.
Тогда понятно, что корни $x^2+x+1$, как написал ewert, это корни третьей степени из единицы.

[ewert]

Не обязательно. Достаточно тупо эти корни найти: $-{1\over2}\pm{\sqrt3\over2}$. И (даже не переходя к показательной форме) просто возвести их во вторую и третью степень. Это же в любом варианте напрашивается.

[TOTAL]

SakumaRei в сообщении #365610 писал(а):

Помогите разобраться.
Доказать, что многочлен $x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ делится на многочлен $x^2+x+1$ при целых неотрицательных m , n , p.

$(x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}) - (x^2+x+1)=(x^{3m}-1)+x(x^{3n}-1)+x^2(x^{3p}-1)$
$x^{3m}-1=(x^3-1)(\cdots)=(x-1)(x^2+x+1)(\cdots)$