Вопрос по логике о доказательствах от противного

[epros]

Виктор Викторов, я по-прежнему не понял что Вы хотели сказать. Возможно отсюда - "некорректное цитирование". Я понял так, что Вы возразили против моего утверждения о неразличимости в классической логике доказательства от противного и сведения к абсурду. Но Ваших доводов в защиту их различимости я не понял.

[Виктор Викторов]

О сути дела напишу через пару часов. А о некорректном цитировании весьма просто. Вы процитировали:

epros в сообщении #364675 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #364444 писал(а):

Это неверно.

Что неверно?

Можно ещё процитировать так:

Виктор Викторов в сообщении #364444 писал(а):

не

[Mr. X]

epros в сообщении #364724 писал(а):

Я-то писал о простой вещи:
1) $(X \to \bot) \to \neg X$ - опровержение $X$ приведением к абсурду,
2) $(\neg X \to \bot) \to X$ - доказательство $X$ от противного.
.......
Поэтому я и спрашивал топикстартера какова его цель: исключить только (2) или исключить и (1) в том числе.

epros, cпасибо за эту формализацию (моего) вопроса. Я имел в виду (в таком случае) -- можно ли исключить и (1), и (2), построив при этом содержательную математическую теорию (например, хотя бы классических (можно считать "студенческих") разделов анализа/алгебры/геометрии) ?

[Виктор Викторов]

Maslov в сообщении #364685 писал(а):

Формы доказательство от противного:

$X \to Y \equiv \lnot Y \to \lnot X$
$X \to Y \equiv (X \land \lnot Y) \to \lnot X $
$X \to Y \equiv (X \land \lnot Y) \to (Z \land \lnot Z)$

Формы доказательства сведением к абсурду:
$(\lnot X \to \lnot Y) \to ((\lnot X \to Y) \to X)$ (приведение противоположного утверждения к абсурду)
$(X \to \lnot Y) \to ((X \to Y) \to \lnot X)$ (приведение данного утверждения к абсурду)

Схема $X \to Y \equiv (X \land \lnot Y) \to (Z \land \lnot Z)$ и туда, и туда подходит: преположив "противное" ($\lnot Y$), приходим к абсурду $(Z \land \lnot Z)$

К сожалению, я переврал терминологию у Шихановича.

(Оффтоп)

Правда, переврал её по Фрейду. Меня когда-то на экзамене спрашивали о доказательстве от противного, имея в виду именно закон контрапозиции.

Так вот: есть закон контрапозиции:

$$A\to B\equiv \neg B\to \neg A$$

Предполагаем отрицание $B$ и получаем отрицание $A$. Пример: если число делится на четыре, то число делится на два. Докажу я это так: если число не делится на два, то число не делится на четыре. Разумно назвать такое доказательство доказательством от противного (предположили противное и получили противное). Но любую вещь можно назвать трамваем. Об этом нужно только договориться. Так вот договорились (и в этом моя ошибка), что закон контрапозиции отдельно, а приведение к абсурду и доказательство от противного это одно и тоже. Таким образом приведение к абсурду (оно же доказательство от противного):

$$A\to B\equiv A\wedge \neg B \to C \wedge \neg C$$

$$A\to B\equiv A\wedge \neg B \to \neg A$$

$$A\to B\equiv A\wedge \neg B \to \neg B$$

Т. е. предположить противное и придти к абсурду. Наиболее ярко это представлено первой формулой.

[Виктор Викторов]

Mr. X в сообщении #364121 писал(а):

...классическое доказательство иррациональности $\sqrt2$...

Имеет место быть одна тонкость. Если уже введены иррациональные числа, то, доказав нерациональность $\sqrt2$, действительно можно сделать вывод, что $\sqrt2$ иррациональное число. Но обычно ситуация другая. Нерациональность $\sqrt2$ доказывают до введения иррациональных чисел, и на этом основании делают вывод, что нужны ещё какие-то другие числа. В этом случае говорить о доказательстве иррациональности $\sqrt2$ не совсем корректно.

[epros]

Mr. X в сообщении #364856 писал(а):

Я имел в виду (в таком случае) -- можно ли исключить и (1), и (2), построив при этом содержательную математическую теорию (например, хотя бы классических (можно считать "студенческих") разделов анализа/алгебры/геометрии) ?

Насколько я знаю, (1) - это довольно фундаментальная вещь, связанная с понятием отрицания как такового. Т.е. если у нас в логике так или иначе вводится понятие "универсальной лжи" ("абсурда") $\bot$, то формулой (1) и определяется отрицание. И наоборот, если у нас в логике так или иначе вводится понятие отрицания, то вывод из $X$ противоречивого высказывания (т.е. некоего $\neg Y$, где $Y$ - любая тавтология соответствующего исчисления высказываний) автоматически должен рассматриваться как отрицание $X$ - иначе получится, что мы принимаем противоречивые теории, т.е. такие теории, которые доказывают что угодно.

Что касается логик без отрицания в принципе, то таковые, насколько я знаю, существуют. Правда я не уверен, что на них можно построить в привычном для нас смысле "содержательную" математику. Например, в этой логике можно будет утверждать, что число $2$ рационально, но нельзя утверждать, что число $\sqrt{2}$ - иррационально. Понятие иррациональности просто нельзя будет ввести. Т.е. действительные числа, про которые не доказано, что они рациональные, будут интерпретироваться как "неизвестно какие" (может быть рациональные, а может и нет).

[Mr. X]

Спасибо, epros !

[epros]

Позволю себе немного лирики касательно понятия отрицания. Классическая логика приучила нас к мысли, что отрицательные высказывания полностью "симметричны" утвердительным. Однако в жизни это не всегда очевидно. Дело в том, что доказательная сила утверждений может непосредственно базироваться на неких фактах (например: "В комнате есть Маша" и "В комнате есть Петя" - могут быть результатами непосредственного наблюдения - Маши на диване, а Пети за столом). С отрицаниями это не так, они всегда основаны на предположении о полноте некоторой теоретической модели. Например: "В комнате нет Вовы" - основано на предположении, что мы осмотрели все места, где может быть Вова (на диване, за столом, под диваном, за шторой) и Вовы там не обнаружили. Т.е. мы предполагаем, что наша теоретическая модель осмотра комнаты полна. Однако Вова может оказаться в шкафу - где мы посмотреть не догадались...

Вот более формальный пример из арифметики Пеано. В ней есть аксиома: "Не существует предшественника нуля". На самом деле мы прекрасно знаем, что число -1 существует. Однако его не существует "среди натуральных чисел", т.е. среди объектов, рассматриваемых арифметикой Пеано. Т.е. верность отрицательного утверждения зависит от полноты той модели, которую мы используем.

(Философское отступление)

Любопытным образом это имеет отношение к философской триаде: "тезис -> антитезис -> синтез". В указанном выше примере тезис: "В комнате есть Вова". Он очевидным образом не соответствует наблюдаемым фактам, что может побудить нас выдвинуть антитезис: "В комнате нет Вовы". Однако если мы обладаем достаточной широтой мышления, чтобы не зацикливаться на двузначности логики, то мы можем прийти к синтезу: "Вова может быть в комнате только в тех местах, которые мы не осмотрели". Продуктивность последнего состоит в том, что он побуждает нас проверить те места, где мы не смотрели (есть надежда обнаружить Вову в шкафу ).

В примере с арифметикой аналогично: синтетическое суждение побуждает нас к тому, чтобы придумать отрицательные числа.