Праймориал vs факториал

[age]

Не знаю, куда поместить эту тему, поэтому решил поместить сюда.
Существует ли оценка (может быть, даже в виде функции) по отношению $\dfrac{x!}{x\#}$?
Ну что-то типа функции $\pi(x)$?

Мне удалось выяснить, что для небольших $x$, $\dfrac{x!}{x\#}$ близко к $\left(\dfrac{x}{e}\right)\Big !$. Но дальше оценка начинает меняться.

[venco]

Про факториал есть формула Стирлинга.
Про праймориал есть оценка $n\# \approx e^n$.

[age]

Спасибо!

[age]

venco
Еще один вопрос: а можно ли дать оценку сумме:
$\sum\limits_{i=1}^k{p_i^2}$
где $p_i$ - простые числа, составляющие праймориал некоторого числа $x$

У меня опять получилась очень интересная оценка в мелких числах:
$\sum\limits_{i=1}^k{p_i^2}\sim\dfrac{x^e}{3.4}$

[ИСН]

Ну, будет что-то типа $x^3/\ln x$.

-- Ср, 2010-10-20, 20:50 --

$1\over 3$ спереди забыл.

[age]

ИСН
Почти да! А как? Сами нашли или метод какой есть?

[ИСН]

Ой, ну $p_i\approx i\ln i$, а остальное тривиально.

[venco]

Все оценки с простыми числами можно получить интегрированием, считая, что простым число $x$ будет с вероятностью $\frac 1 {\ln x}$

[ИСН]

Или так, да.