Решение обыкнов.дифференц. уравнений в комплексной плоскости

[evgeniy]

Исключите из самого первого сообщения по этой теме физический смысл комплексного решения и утверждение, что комплексное решение всегда сходится к положению равновесия. Останется неявная схема решения, которая при постоянном шаге имеет комплексное решение и решение в виде тангенса, с растущим комплексным решением. Это уже интересное сообщение, что обыкновенные дифференциальные уравнения имеют комплексное решение.

[shwedka]

Если убрать НС и прочие замахи на величие, что остается:
Некоторые вещественные ОДЕ могут быть распространены на комплексные решения, и при этом могут проявиться новые эффекты. Здесь не спорю. Если уравнение нелинейное, как в Вашем примере, то комплексификация эквивалентна переходу к системе двух уравнений. Эта новая система может иметь особые точки, невидимые для исходного уравнения, со всеми неприятностями, свойственными особым точкам . Вполне разумно, но науки в этом особой нет.

evgeniy в сообщении #327923 писал(а):

комплексное решение всегда сходится к положению равновесия

Ну, это уж как повезет. Если особая точка устойчива, то да, но ведь бывают и неустойчивые особые точки.

evgeniy в сообщении #327923 писал(а):

Останется неявная схема решения, которая при постоянном шаге имеет комплексное решение и решение в виде тангенса, с растущим комплексным решением.

Дух не захватывает.

[evgeniy]

Доказываю теорему о обязательной сходимости комплексного решения к положению равновесия в случае если координаты положения равновесия имеют действительную часть. Рассмотрим автономную систему уравнений
$\frac{dx_l}{dt}=F_l(x_1,...,x_N),l=1,...,N$(1)
Она имеет N-1 первый интеграл и следовательно ее можно представить в виде
$\frac{dx_l}{dt}=f_l(x_l,c_1,...,c_N)$(2)
Находим все положения равновесия правой части (1)считаем их однократными, т.е. не совпадающими, где величина положений равновесия определяется по формуле $F_l(a_1^k,...,a_N^k)$. тогда уравнение (2) можно записать в виде
$\frac{dx_l}{dt}=exp[G_l(x_l)]\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)$)(3)
При этом величина экспоненты в ноль не обращается, так как равна
$exp[G_l(x_l)]=\frac{F_l(x_1,...,x_N)}{\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)}$
и однократное обращение в ноль числителя и знаменателя разрешается с помощью правила Лопиталя. При этом дифференциальное уравнение (3) можно представить в виде
$\frac{dx_l}{\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)}=dH_l ,dH_l=exp[G_l(x_l)]dt$
Интегрируем левую часть этого дифференциального уравнения разбивая ее на простые дроби и потенциируем, получим
$\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)^{\lambda_{k}}=exp[H_l(x_l)],\lambda_k=1/[(a_l^k-a_l^1)...(a_l^k-a_l^{k-1})(a_l^k-a_l^{k+1})...(a_l^k-a_l^K)]$
Докажем следующее тождество
$\sum_{k=1}^{K}\lambda_{k}=0$/
для чего запишем следующую сумму
$P(y)=\sum_{k=1}^{K}\frac{(y-a_l^1)...(y-a_l^{k-1})(y-a_l^{k+1})...(y-a_l^K)}{(a_l^k-a_l^1)...(a_l^k-a_l^{k-1})(a_l^k-a_l^{k+1})...(a_l^k-a_l^K)}$
Это полином K-1 степени обращающийся в K точках в единицу, значит он тождественно равен единице. Приравняем его единице и разделим на на произведение $\prod\limits_{k=1}^{K}(y-a_l^k)$.
Получим
$\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{(a_l^k-a_l^1)...(a_l^k-a_l^{k-1})(a_l^k-a_l^{k+1})...(a_l^k-a_l^K)(a_l^k-y)}+\frac{1}{\prod\limits_{k=1}^{K}(y-a_l^k)}=0$
полагая $y=a_l^{K+1}$ получим требуемую формулу.
Если имеютcя положения равновесия с действительной частью, то по крайней мере у одного $\lambda_k$ есть действительная часть. Из равенства $\sum_{k=1}^{K}\lambda_k=0$ следует, что по крайней мере у одного $\lambda_k$есть отрицательная действительная часть.
из равенства
$\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)^{\lambda_{k}}=exp[H_l(x_l)]$
и из условия $H_l(x_l)\to \infty,t \to \infty$ получим стремление к положению равновесия с отрицательной действительной частью $\lambda_{k}$ .

[shwedka]

evgeniy в сообщении #363239 писал(а):

Она имеет N-1 первый интеграл и следовательно ее можно представить в виде
$\frac{dx_l}{dt}=f_l(x_l,c_1,...,c_N)$(2)

Не верю.
Ссылочку, пожалуйста!

[evgeniy]

В учебнике по обыкновенным дифференциальным уравнениям Понтрягин доказывается теорема, что система дифференциальных автономных уравнений с N неизвестными, имеет N-1 первый интеграл, не зависящий от времени. Эта теорема локальная. Но если в каждой окрестности точки $x_1,...,x_N$ имеется N-1 интеграл, т.е. f_l(x_1,...,x_{N},c_{1},...,c_{N-1})=0,l=1,...,N-1$. Подставляя решение $x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0)$ и получим, что $c_1(t),...,c_{N-1}(t)$ одинаковы для любой точки. Учитывая, что первые интегралы содержат константы и это справедливо и в окрестности точки, получим, что константы не зависят от времени.
А если рассуждать не строго, то из существования решения, $x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_l^0)$ и получим N первых интегралов $x_l^0=x_l^0(t,x_1,...,x_N),l=1,...,N$. Исключая t, получим N-1 первый интеграл, не зависящий от времени.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #363560 писал(а):

. Подставляя решение $x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0)$ и получим, что $c_1(t),...,c_{N-1}(t)$ одинаковы для любой точки. Учитывая, что первые интегралы содержат константы и это справедливо и в окрестности точки, получим, что константы не зависят от времени.
А если рассуждать не строго, то из существования решения, $x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_l^0)$ и получим N первых интегралов $x_l^0=x_l^0(t,x_1,...,x_N),l=1,...,N$. Исключая t, получим N-1 первый интеграл, не зависящий от времени.

Нетушки, все это рассуждение от локальности к глобальности-в пользу бедных.
Все теоремы о первых интегралах сугубо локальны. То есть, есть окрестность, в ней можно заменить координаты и тп. А вне этой окрестности- будут другие координаты и другие интегралы.

[evgeniy]

Не понимаю, чем ВАс не устраивают эти рассуждения, что значит в пользу бедных. Укажите в чем нестрогость обоих рассуждений.

-- Вт окт 19, 2010 17:22:35 --

Кроме того, комплексные решения дифференциальных уравнений имеют применение при решении нелинейных систему уравнений в частных производных. Рассмотрим нелинейное уравнение в частных производных, возможно уравнение Навье - Стокса.
$\frac{\partial U}{\partial t}=a_{nm}(x_k,U)\frac{\partial^2 U}{\partial x_n \partial x_m}+b_n(x_k,U)\frac{\partial U}{\partial x_n}+c(x_k,U)U$
Решение ищем в виде
$U=\sum_n \alpha_n \phi_n(\vec r)$
умножая на величину $\phi_m(\vec r)$ и интегрируя по пространству, получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Произведем редукцию, оставив конечное число дифференциальных уравнений
$\frac{d\alpha_k}{dt}=c_{k0}+c_{k1n}\alpha_n+c_{k2nm}\alpha_n\alpha_m+...$Эта система дифференциальных уравнений в случае комплексного положения равновесия имеет бесконечное решение в действительной плоскости и конечное решение в комплексной плоскости. Я этого доказывать не буду, сошлюсь на пример
$\frac{dx}{dt}=1+x^2$
имеет бесконечное действительное решение и конечное комплексное.
Решая любым способом систему нелинейных дифференциальных уравнений в действительной плоскости получим бесконечность в действительной плоскости, если для ее системы обыкновенных дифференциальных уравнений есть комплексные положения равновесия. В этом я убедился изучая литературу по решению уравнения Навье - Стокса. Как только переходят к турбулентному решению, появляется бесконечность. Избавиться от которой надо решая уравнение Навье - Стокса в комплексной плоскости.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #363583 писал(а):

Не понимаю, чем ВАс не устраивают эти рассуждения, что значит в пользу бедных. Укажите в чем нестрогость обоих рассуждений.

1. Все теоремы о решениях систем ДУ локальны. У ВАс необоснован переход от локальных интегралов к глобальным. Набор интегралов существует в окрестности. В соседней окрестности будет другой набор интегралов. А Вы притворяетесь, что всюду набор ингегралов один и тот же.
2. слово 'исключая'. Строго, исключение производится на основании теоремы о неявной функции. Но эта теорема -- сугубо локальная. Вы не доказали возможность глобального исключения переменной.

[evgeniy]

Теоремы о решениях ДУ в случае выполнения условий Липшица и непрерывности правой части глобальны. Есть не продолжаемые решения, но в случае выполнения непрерывности правой части они существуют, а в случае выпонения условий Липшица решение единственно.
Доказываю глобальную теорему об обратной функции. Допустим имеем функцию
$y_k=y_k(x_1,...,x_N),k=1,...,N$(1)
Если определитель этого преобразования отличен от нуля, то справедливо зависимость $x_k=x_k(y_1,...,y_N),k=1,...,N$ в области не равенства нулю определителя
Продифференцируем уравнение (1), получим
$\frac{dy_k}{dt}=\sum_n\frac{\partial y_k}{\partial x_n}\frac{dx_n}{dt}$
В силу не равенства нулю определителя этой системы уравнений получим
$\frac{dx_n}{dt}=\sum_k(\frac{\partial y_k}{\partial x_n})^{-1}\frac{dy_k}{dt}=\sum_n\frac{\partial x_n}{\partial y_k}\frac{dy_k}{dt}$
где обратная матрица получена из локальной теоремы. Выбирая произвольное изменение $y_k(t)$до любой точки, получим значение величины $x_n(t)$. Т.е. из не равенства определителя нулю в области, получим обратную функцию для произвольной точки области.
Аналогичную теорему можно доказать для неявной функции, с той же идеей дифференциального уравнения.
Я не понимаю, откуда у Вас столько заблуждений о локальных и глобальных решениях. В случае локальной теоремы существования и единственности не одно дифференциальное уравнение нельзя было бы решить и не одну обратную или неявную функцию вычислить. Напишите источник Вашей уверенности в отсутствии глобальных решений.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #363595 писал(а):

Если определитель этого преобразования отличен от нуля, то справедливо зависимость $x_k=x_k(y_1,...,y_N),k=1,...,N$ в области не равенства нулю определителя

неверно

[evgeniy]

В чем ошибка, эту теорему я доказал.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #363605 писал(а):

В чем ошибка, эту теорему я доказал

А где доказательство?

Вы утверждаете, что теорема об обратном отображении глобальна. А она локальна!

[evgeniy]

Я доказал, что в можно с помощью решения дифференциального уравнения можно определить $x_l$ в зависимости от $y_k$ в области, где не равен нулю определитель. Т.е. построил глобальное решение, которое совпадает с локальными решениями. Локальные решения позволяют вычислить матрицу этого дифференциального уравнения. Если расписать схему интегрирования на каждом шаге, то получим локальное уравнение, определяющее локальное решение, т.е. локальное решение совпадает с глобальным.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #363673 писал(а):

Я доказал, что в можно с помощью решения дифференциального уравнения можно определить $x_l$ в зависимости от $y_k$ в области, где не равен нулю определитель.

Не доказал!
Переход от локального к глобальному объявлен , но не доказан.

[evgeniy]

Решение дифференциального уравнения, это по Вашему не определение функции. Функция определяется из дифференциального уравнения.