Доказываю теорему о обязательной сходимости комплексного решения к положению равновесия в случае если координаты положения равновесия имеют действительную часть. Рассмотрим автономную систему уравнений

(1)
Она имеет N-1 первый интеграл и следовательно ее можно представить в виде

(2)
Находим все положения равновесия правой части (1)считаем их однократными, т.е. не совпадающими, где величина положений равновесия определяется по формуле

. тогда уравнение (2) можно записать в виде
![$\frac{dx_l}{dt}=exp[G_l(x_l)]\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)$ $\frac{dx_l}{dt}=exp[G_l(x_l)]\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/4/9448a9be0c92e8b9c482e7daa5754b7782.png)
)(3)
При этом величина экспоненты в ноль не обращается, так как равна
![$exp[G_l(x_l)]=\frac{F_l(x_1,...,x_N)}{\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)}$ $exp[G_l(x_l)]=\frac{F_l(x_1,...,x_N)}{\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/3/a134ad29c3a027ef071d6e27ba48605182.png)
и однократное обращение в ноль числителя и знаменателя разрешается с помощью правила Лопиталя. При этом дифференциальное уравнение (3) можно представить в виде
![$\frac{dx_l}{\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)}=dH_l ,dH_l=exp[G_l(x_l)]dt$ $\frac{dx_l}{\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)}=dH_l ,dH_l=exp[G_l(x_l)]dt$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/0/630c8915d0be314bbb1a8143f32c9de682.png)
Интегрируем левую часть этого дифференциального уравнения разбивая ее на простые дроби и потенциируем, получим
![$\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)^{\lambda_{k}}=exp[H_l(x_l)],\lambda_k=1/[(a_l^k-a_l^1)...(a_l^k-a_l^{k-1})(a_l^k-a_l^{k+1})...(a_l^k-a_l^K)]$ $\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)^{\lambda_{k}}=exp[H_l(x_l)],\lambda_k=1/[(a_l^k-a_l^1)...(a_l^k-a_l^{k-1})(a_l^k-a_l^{k+1})...(a_l^k-a_l^K)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/2/5a29993d6ca8039fb15d0a617bf7778f82.png)
Докажем следующее тождество

/
для чего запишем следующую сумму

Это полином K-1 степени обращающийся в K точках в единицу, значит он тождественно равен единице. Приравняем его единице и разделим на на произведение

.
Получим

полагая

получим требуемую формулу.
Если имеютcя положения равновесия с действительной частью, то по крайней мере у одного

есть действительная часть. Из равенства

следует, что по крайней мере у одного

есть отрицательная действительная часть.
из равенства
![$\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)^{\lambda_{k}}=exp[H_l(x_l)]$ $\prod\limits_{k=1}^{K}(x_l-a_l^k)^{\lambda_{k}}=exp[H_l(x_l)]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/3/7534a4065c825f29790ff00c3060953782.png)
и из условия

получим стремление к положению равновесия с отрицательной действительной частью

.