Моё решение.
В-первых, подставим вместо

. Тогда уравнение примет вид

, или

где

-- биекция

на

, а

обладает теми же свойствами, что и

.
Разобъем

на орбиты действия

. Эти орбиты трех сортов -- 1) неподвижные точки, 2) циклы

, и 3) бесконечные в обе стороны последовательности

. Стрелочка обозначает переход

.
Если

-- неподвижная точка,

, то, как отметил
paha, можно найти значение
![$u(x)\in[-a,a]$ $u(x)\in[-a,a]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/e/d4eeb6271273fd05616d45a055a286c382.png)
, чтобы

(по теореме Брауэра о неподвижной точке).
Определим значения

в точках некоторого цикла. Пусть мы выбрали какое-то значение
![$u(x_1)\in[-a,a]$ $u(x_1)\in[-a,a]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/3/1231f6fb19f067b60ae8072b6b14d10582.png)
, тогда

. Так как

-- непрерывная функция по второму аргументу, то

является непрерывной функцией от

. Поэтому по теореме Браура возможно выбрать значение

так, чтобы

.
Третий случай самый интересный. Если мы выбрали какое-то значение

, то все последующие значения

вычисляются согласно уравнению

. На первом шаге выберем какое-либо значение

, соответственно определятся и все значения

. На втором шаге выберем значение

, определятся все значения

. На

-том шаге выберем значение

и, соответственно,

. И так далее. Из полученной последовательности строк-значений выделим подпоследовательность, для которой

сходится, из неё подпоследовательность, для которой

сходится, из неё подпоследовательность, для которой

сходится и так далее. Потом выделим диагональную подпоследовательность. Тогда

будет сходится для любого

. Пределы и примем в качестве искомых значений. По непрерывности для любого

будет выполнено

. Построение закончено.
Интересно было бы посмотреть на очень простое доказательство.