функциональное уравнение

[moscwicz]

$M$ -- Произвольное множество. Рассмотрим функцию $f:M\times\mathbb{R}\to [-a,a]$. Эта функция непрерывна по второму аргументу при каждом фиксированном значении первого.
Доказать, что существует функция $u:M\to\mathbb{R}$ такая, что $u(x)=f(x,u(\psi(x)))$, где $\psi:M\to M$ -- биекция.

Можно, конечно, несколько обобщить условие... Например вместо $\mathbb{R}$ взять некоторое линейное топологическое пространство, заменить $[-a,a]$ на..., а вместо биекции.... Вобщем это очень простая задача.

[paha]

moscwicz в сообщении #362865 писал(а):

Эта функция непрерывна

а при чем тут непрерывность???

[moscwicz]

paha в сообщении #363116 писал(а):

а при чем тут непрерывность???

можете доказать без непрерывности, докажите без непрерывности

[paha]

Для каждого $x\in M$ уравнение $t=f(x,t)$ имеет решение $t_x\in [-a;a]$, да, непрерывность нужна для этого

[moscwicz]

Так, это решение для случая, когда $\psi=id$. Решения исходной задачи пока нет. Это просто для порядка.

[svv]

moscwicz, Вы назвали задачу очень простой, значит, Вам решение известно? Я, кажется, понял, как она решается.

[moscwicz]

задача действительно очень простая, но судя по другим Вашим постам, это:

svv в сообщении #363301 писал(а):

Я, кажется, понял, как она решается.

совершенно невероятно

[Padawan]

Моё решение.
В-первых, подставим вместо $x$ $\psi^{-1}(x)$. Тогда уравнение примет вид $u(\psi^{-1}(x))=f(\psi^{-1}(x),u(x))$, или

$$u(\varphi(x))=g(x,u(x))\; ,$$

где $\varphi$ -- биекция $M$ на $M$, а $g$ обладает теми же свойствами, что и $f$.
Разобъем $M$ на орбиты действия $\varphi$. Эти орбиты трех сортов -- 1) неподвижные точки, 2) циклы $x_1\to x_2\to\ldots\to x_n\to x_{n+1}=x_1$, и 3) бесконечные в обе стороны последовательности $\ldots x_{-1}\to x_0\to x_1\to x_2\to\ldots$. Стрелочка обозначает переход $x_{i+1}=\varphi (x_i)$.
Если $x$ -- неподвижная точка, $\varphi(x)=x$, то, как отметил paha, можно найти значение $u(x)\in[-a,a]$, чтобы $u(x)=g(x,u(x))$ (по теореме Брауэра о неподвижной точке).
Определим значения $u$ в точках некоторого цикла. Пусть мы выбрали какое-то значение $u(x_1)\in[-a,a]$, тогда $u(x_2)=g(x_1,u(x_1)),\ldots,u(x_n)=g(x_{n-1},u(x_{n-1})), u(x_{n+1})=g(x_n,u(x_n))$. Так как $g$ -- непрерывная функция по второму аргументу, то $u(x_{n+1})$ является непрерывной функцией от $u(x_1)$. Поэтому по теореме Браура возможно выбрать значение $u(x_1)$ так, чтобы $u(x_{n+1})=u(x_1)$.
Третий случай самый интересный. Если мы выбрали какое-то значение $u(x_n)$, то все последующие значения $u(x_m), m>n$ вычисляются согласно уравнению $u(x_{i+1})=g(x_i,u(x_i))$. На первом шаге выберем какое-либо значение $u(x_0)$, соответственно определятся и все значения $u(x_m),m\geqslant 0$. На втором шаге выберем значение $u(x_{-1})$, определятся все значения $u(x_{m}),m\geqslant -1$. На $n$-том шаге выберем значение $u(x_{-n})$ и, соответственно, $u(x_m), m\geqslant -n$. И так далее. Из полученной последовательности строк-значений выделим подпоследовательность, для которой $u(x_0)$ сходится, из неё подпоследовательность, для которой $u(x_{-1})$ сходится, из неё подпоследовательность, для которой $u(x_{-n})$ сходится и так далее. Потом выделим диагональную подпоследовательность. Тогда $u(x_n)$ будет сходится для любого $n\in\mathbb Z$. Пределы и примем в качестве искомых значений. По непрерывности для любого $i$ будет выполнено $u(x_{i+1})=g(x_i,u(x_i))$. Построение закончено.

Интересно было бы посмотреть на очень простое доказательство.

[moscwicz]

Padawan
Простое доказательство состоит в том, что теорема Шаудера-Тихонова применяется к отображению компакта $[-a,a]^M$ в себя. В Вашем доказательстве, впрочем может я невнимательно смотрел, не используется лемма Цорна. Это настораживает.

[paha]

moscwicz в сообщении #363333 писал(а):

не используется лемма Цорна

я сегодня по дороге на работу продумал: все так и есть, и мне лемма цорна не нужна. На каждой орбите действия $\psi$ определяем отображение руками (только у меня проще получилось, чем у Padawan)

[moscwicz]

Да наверное все правильно, только немножко неожиданно.

[Padawan]

paha в сообщении #363426 писал(а):

На каждой орбите действия $\psi$ определяем отображение руками (только у меня проще получилось, чем у Padawan)

Поделитесь?

[moscwicz]

А если вместо биекции $\psi$ взять отображение у которого каждая точка в образе имеет конечное число прообразов ваше доказательство пройдет?

[svv]

Доказательство (не точно такое, как у Padawan, но основанное на его идеях), можно провести даже в общем случае отображения $\psi:M\to M$, без ограничений на количество прообразов элемента. Вот общий план.

Отображение $\psi$ разбивает множество $M$ на связные подмножества (такие, что внутри подмножества можно от любого элемента $a$ к любому элементу $b$ перейти по цепочке, в которой для любых двух соседних элементов один является образом другого).
Любое такое связное подмножество можно далее разбить на подмножества нескольких сортов:
- цикл (и его предельный случай, $\psi(x)=x$);
- конечная цепочка;
- положительно-бесконечная цепочка $(..., x_2, x_1, x_0)$;
- отрицательно-бесконечная цепочка $(x_0, x_{-1}, x_{-2}, ...)$.
Здесь направление нумерации соответствует построению Padawanа, где $u(x_{i+1})=g(x_i,u(x_i))$, то есть переход к образу элемента под действием отображения $\psi$ уменьшает индекс элемента в цепочке на $1$.

Далее, в каждом связном подмножестве имеется либо один цикл, либо одна отрицательно-бесконечная цепочка. Для входящих в них элементов значение $u$ задается, как описано у Padawan.
Затем в определенном порядке мы выбираем остальные цепочки, и каждую цепочку проходим в направлении от образа к прообразу, задавая для ее элементов функцию по формуле $u(x_{i+1})=g(x_i,u(x_i))$.