Связность R

[Виктор Викторов]

Padawan в сообщении #359023 писал(а):

Теорема. Числовая прямая $\mathbb R$ является связным топологическим пространством, т.е. $\mathbb R$ нельзя разбить на два непустых открытых множества.

От противного. Если $\mathbb R$ несвязно, то его можно разбить на два открытых непересекающихся множества. Каждое из которых в свою очередь представимо как счетное объединение взаимно непересекающихся открытых интервалов. Итак, $\mathbb R$ представлено, как счетный набор непересекающихся открытых интервалов. Возьмем один из них $(a, b)$. Точка $b$ не входит ни в один из открытых интервалов. Противоречие. $\mathbb R$ связно.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #359043 писал(а):

Другой вариант д-ва. Пусть вся ось разбита на два непересекающихся непустых открытых множества $A$ и $B$. Каждое из них является объединением не более чем счётного количества непересекающихся интервалов. Пусть $a$ -- граница одного из таких интервалов, образующих $A$. Эта точка не принадлежит самому интервалу и не может принадлежать никакому из других интервалов, образующих $A$ или $B$ (ввиду непересечения этих интервалов). Т.е. вообще не принадлежит ни $A$, ни $B$. Нехорошо, ч.т.д.

Виктор Викторов в сообщении #363038 писал(а):

От противного. Если $\mathbb R$ несвязно, то его можно разбить на два открытых непересекающихся множества. Каждое из которых в свою очередь представимо как счетное объединение взаимно непересекающихся открытых интервалов. Итак, $\mathbb R$ представлено, как счетный набор непересекающихся открытых интервалов. Возьмем один из них $(a, b)$. Точка $b$ не входит ни в один из открытых интервалов. Противоречие. $\mathbb R$ связно.

Извините ewert! Получился плагиат. Я просто не всё прочитал. Каюсь!