2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Связность R
Сообщение17.10.2010, 20:07 
Аватара пользователя
Padawan в сообщении #359023 писал(а):
Теорема. Числовая прямая $\mathbb R$ является связным топологическим пространством, т.е. $\mathbb R$ нельзя разбить на два непустых открытых множества.

От противного. Если $\mathbb R$ несвязно, то его можно разбить на два открытых непересекающихся множества. Каждое из которых в свою очередь представимо как счетное объединение взаимно непересекающихся открытых интервалов. Итак, $\mathbb R$ представлено, как счетный набор непересекающихся открытых интервалов. Возьмем один из них $(a, b)$. Точка $b$ не входит ни в один из открытых интервалов. Противоречие. $\mathbb R$ связно.

 
 
 
 Re: Связность R
Сообщение18.10.2010, 00:56 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #359043 писал(а):
Другой вариант д-ва. Пусть вся ось разбита на два непересекающихся непустых открытых множества $A$ и $B$. Каждое из них является объединением не более чем счётного количества непересекающихся интервалов. Пусть $a$ -- граница одного из таких интервалов, образующих $A$. Эта точка не принадлежит самому интервалу и не может принадлежать никакому из других интервалов, образующих $A$ или $B$ (ввиду непересечения этих интервалов). Т.е. вообще не принадлежит ни $A$, ни $B$. Нехорошо, ч.т.д.

Виктор Викторов в сообщении #363038 писал(а):
От противного. Если $\mathbb R$ несвязно, то его можно разбить на два открытых непересекающихся множества. Каждое из которых в свою очередь представимо как счетное объединение взаимно непересекающихся открытых интервалов. Итак, $\mathbb R$ представлено, как счетный набор непересекающихся открытых интервалов. Возьмем один из них $(a, b)$. Точка $b$ не входит ни в один из открытых интервалов. Противоречие. $\mathbb R$ связно.


Извините ewert! Получился плагиат. Я просто не всё прочитал. Каюсь!

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group