Связность R

[Padawan]

Теорема. Числовая прямая $\mathbb R$ является связным топологическим пространством, т.е. $\mathbb R$ нельзя разбить на два непустых открытых множества.
Доказательство. Так как множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто, то достаточно доказать, что если непустое множество $A\subset\mathbb R$ одновременно и открыто и замкнуто, то $A=\mathbb R$. Возьмем точку $x_0\in A$. Пусть $B=\{x>x_0|[x_0,x]\subset A\}$. Очевидно, что $B\subset A$. Так как $A$ открыто, то $B\neq\varnothing$. Предположим, что $B$ ограничено сверху. Тогда по теореме о точной верхней грани существует $z=\sup B$. Из определения точной верхней грани следует, что $[x_0,z)\subset A$. Так как $A$ замкнуто, то $z\in A$. Значит, $[x_0,z]\subset A$. Так как $A$ открыто, то существует $z'>z$ такое, что $[x_0,z']\subset A$. Получили $z'\in B$ и $z'>z$, что противоречит определению $z$. Противоречие означает, что $B$ неограниченно сверху, откуда получаем $[x_0,+\infty)\subset A$. Аналогично рассуждая, получим, что и $(-\infty,x_0]\subset A$. Итак, $A=(-\infty,+\infty)$. Теорема доказана.

Следствие (теорема Больцано-Коши). Если на отрезке $[a,b]$ задана непрерывная функция $f$, принимающая в концах отрезка разные по знаку значения, то существует точка $a<\xi<b$ такая, что $f(\xi)=0$.

[ewert]

Padawan в сообщении #359023 писал(а):

Теорема. Числовая прямая $\mathbb R$ является связным топологическим пространством, т.е. $\mathbb R$ нельзя разбить на два непустых открытых множества.

Доказательство. Рассмотрим множество $A$, которое одновременно открыто и замкнуто. Предположим, что оно не совпадает со всей осью. Пусть $b\notin A$ и $B=A\cap(-\infty;b)$ или, что равносильно, $B=A\cap(-\infty;b]$. Это множество тоже одновременно и открыто, и замкнуто. Тогда оно пусто -- в противном случае его супремум являлся бы предельной или изолированной точкой (и, значит, принадлежал бы $B$), и в то же время не являлся бы внутренней (т.е. не принадлежал бы). По той же причине оказывается пустым множество $C=A\cap(b;+\infty)=A\cap[b;+\infty)$ -- оно должно было бы одновременно и включать, и не включать в себя свой инфимум. Следовательно, пусто и само $A$. Ч.т.д.

(мне лень было читать: скорее всего, у Вас то же самое, но как-то заковыристо)

===============================
Другой вариант д-ва. Пусть вся ось разбита на два непересекающихся непустых открытых множества $A$ и $B$. Каждое из них является объединением не более чем счётного количества непересекающихся интервалов. Пусть $a$ -- граница одного из таких интервалов, образующих $A$. Эта точка не принадлежит самому интервалу и не может принадлежать никакому из других интервалов, образующих $A$ или $B$ (ввиду непересечения этих интервалов). Т.е. вообще не принадлежит ни $A$, ни $B$. Нехорошо, ч.т.д.


======================================
А теорему Больцано-Коши идейнее доказывать всё-таки в лоб, половинным делением -- ведь, помимо всего прочего, такое доказательство ещё и конструктивно.

[Padawan]

Я старался, чтобы было похоже на доказательство Лебега леммы о покрытиях (см., например, Фихтенгольц п.88). Оно мне нравится. Похоже на какую-то континуальную индукцию.
А половинным делением действительно идейнее, но по-моему не так красиво.

[paha]

Все-таки следствие это из другого утверждения :)
непрерывный образ связного связен

[ewert]

Padawan в сообщении #359057 писал(а):

Я старался, чтобы было похоже на доказательство Лебега леммы о покрытиях (см., например, Фихтенгольц п.88). Оно мне нравится.

А мне как раз Больцано больше по душе. Он куда универсальнее: практически без изменений переносится на произвольные замкнутые ограниченные множества и произвольные открытые покрытия, да ещё и многомерные.

[Padawan]

paha в сообщении #359073 писал(а):

Все-таки следствие это из другого утверждения :)
непрерывный образ связного связен

Образом какого связного является $\mathbb R$?

[paha]

Padawan в сообщении #359094 писал(а):

paha в сообщении #359073 писал(а):
Все-таки следствие это из другого утверждения :)
непрерывный образ связного связен

Образом какого связного является $\mathbb R$?

теорема Больцано-Коши -- теорема об отображении, доказанное Вами утверждение -- теорема о некотором пространстве

ну, просто попробуйте доказать теорему Б-К, опираясь на Вашу

[ewert]

paha в сообщении #359111 писал(а):

ну, просто попробуйте доказать теорему Б-К, опираясь на Вашу

но, Ватсон: если утверждение теоремы Б.-К. неверно, то вся ось распадается на две открытые компоненты -- на прообраз отрицательных чисел и прообраз положительных...

[Padawan]

ewert в сообщении #359138 писал(а):

paha в сообщении #359111 писал(а):

ну, просто попробуйте доказать теорему Б-К, опираясь на Вашу

но, Ватсон: если утверждение теоремы Б.-К. неверно, то вся ось распадается на две открытые компоненты -- на прообраз отрицательных чисел и прообраз положительных...

Сначала еще надо продолжить $f$ на всю прямую, полагая $f(x)=f(a)$ при $x<a$ и $f(x)=f(b)$ при $x>b$.

[ewert]

Padawan в сообщении #359155 писал(а):

Сначала еще надо продолжить $f$ на всю прямую, полагая $f(x)=f(a)$ при $x<a$ и $f(x)=f(b)$ при $x>b$.

Ну это уж само собой.

Кстати, у метода Больцано (с половинным делением) есть ещё одно эвристическое достоинство. Он (с соответствующими оговорками) позволяет распространить лемму Бореля на компакты вообще в любых метрических пространствах. Правда, там модификация будет уже глубже, но не очень громоздче технически. Там роль половинных делений будут играть измельчающиеся эпсилон-сети.

[Padawan]

(Оффтоп)

Ну это уже сильно зависит от того, как мы определяем компакты Видимо, Вы имеете ввиду секвенциальное определение. Тогда отсюда получаем замкнутость\полноту и полную ограниченность и уже после этого применяем метод Больцано.
Но это к вопросам преподавания (мат. анализа на первом курсе) уже не относится.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #359204 писал(а):

Но это к вопросам преподавания (мат. анализа на первом курсе) уже не относится.

Да. Но должна ж быть и першпектива!

[paha]

ewert в сообщении #359138 писал(а):

но, Ватсон: если утверждение теоремы Б.-К. неверно, то вся ось распадается на две открытые компоненты -- на прообраз отрицательных чисел и прообраз положительных...

Ровно так и доказывается теорема "непрерывный образ связного множества связен"...

если уж форум называется "Вопросы преподавания", то логичная последовательность утверждений в курсе (общей топологии) такая:

определение связности
связность $\mathbb{R}$ (как пример)
теорема об образе связного множества при непрерывном отображении
теорема Б-К (как следствие)

-- Вт окт 05, 2010 01:29:34 --

Padawan в сообщении #359204 писал(а):

Но это к вопросам преподавания (мат. анализа на первом курсе)

а... вот оно в чем дело:)))

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #359265 писал(а):

то логичная последовательность утверждений в курсе (общей топологии)

ну тут же речь не об общей топологии (которую, кстати, я никогда не изучал и даже не знаю, строго говоря), а о конкретно вещественной оси. И перебрасываемся мы -- так, вкусовщиной. Моя -- такая: из всех употребительных определений компактности наиболее близка к вычислительной практике -- именно секвенциальная. И если её удаётся настолько даром обобщить -- то это и хорошо, и даже приятственно.

[paha]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #359271 писал(а):

ну тут же речь не об общей топологии (которую, кстати, я никогда не изучал и даже не знаю, строго говоря), а о конкретно вещественной оси. И перебрасываемся мы -- так, вкусовщиной. Моя -- такая: из всех употребительных определений компактности наиболее близка к вычислительной практике -- именно секвенциальная. И если её удаётся настолько даром обобщить -- то это и хорошо, и даже приятственно.

а я читал только общую... это топикстартер виноват -- дисциплину не обозначил